MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 4
Oblicz moduł podanych liczb zespolonych : \(z= ctg \, \alpha +i\) gdzie \(\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})\)
\(\displaystyle\left | z \right |=\left | ctg \, \alpha +i \right |=\)
Korzystamy z definicji modułu liczb zespolonych \(\displaystyle \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) gdzie \(a=ctg \, \alpha , \, b=1\)
\(\displaystyle \sqrt{ctg^{2}\,\alpha +1^{2}}=\)
Stosujemy podstawienia: \(ctg^{2}\,\alpha =\frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha}\) oraz \(1=\frac{sin^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha} +\frac{sin^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}}=\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{cos^{2} \alpha + sin^2 \alpha }{sin^{2} \alpha}} =\)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha =1\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{1 }{sin^{2} \alpha}} =\)
\(\displaystyle \frac{1 }{sin \, \alpha}\)
Wartości funkcji trygonometrycznych w pierwszej ćwiartce \((0,\frac{\pi }{2})\) są dodatnie, dlatego nie jest konieczne ostatniej równości zapisywać w postaci \(\frac{1}{\left | sin \, \alpha \right |}\)
