MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ

Definicja (Moduł liczby zespolonej)

Niech dana będzie liczba zespolona \(z=(a+ib) \)
Liczbę \(\large\left | z \right |\) nazywamy modułem liczby zespolonej \(\large z\) i jest to liczba rzeczywista określona wzorem: \[\displaystyle\large \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\] gdzie: \(a, b\in \mathbb{R}\) - liczby rzeczywiste
\(i\) - jednostka urojona

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \(\large z\) równa się odległości punktu \(\large z\) od początku układu współrzędnych.

Podstawowe własności modułu liczb zespolonych.

1. \( \left | z \right |=\left | \bar{z} \right |=\left | -z \right |\)

2. \(z\cdot\bar{z} =\left | z \right |^2\)

4. \(\displaystyle\left | \frac{z_1}{z_2} \right |=\frac{\left | z_1 \right |}{\left | z_2 \right |}\)

MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA

Zadanie 1

Oblicz moduł podanych liczb zespolonych : \(z_1=6-8i \,\,\,\, z_2=-3+i4\)

Rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz moduł podanych liczb zespolonych : \(z_1=4i \,\,\,\, z_2=\sqrt{9}+i\sqrt{27}\)

Rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz moduł podanych liczb zespolonych : \(\displaystyle z=\frac{3+4i}{1-2i}\)

Rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz moduł podanych liczb zespolonych : \(z= ctg \, \alpha +i\) gdzie \(\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})\)

Rozwiązanie