PIERWIASTKI ZESPOLONE Z JEDYNKI - ZADANIA
Zadanie 1
A) Oblicz wszystkie pierwiastki sześcienne z jeden \(\sqrt [3]{1}\)
B) Znajdź generatory pozostałych pierwiastków
Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
Dla \(z=1\) mamy \(|z|=1\) oraz \(arg\,(z)={0}\) zatem:
\( \sqrt[3]{1}=\{\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{0+2k\pi}{3}+i\,\sin\frac{0+2k\pi}{3}\right)\) : \(k=0,1,2\}\)
Obliczamy pierwszy pierwiastek dla \(k=0\)
\( z_0=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{0}{3}+i\sin\frac{0}{3}\right)=\)
\(\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=(1+i0)=1\)
Obliczamy drugi pierwiastek dla \(k=1\)
\(z_1=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=\)
\(\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
Obliczamy trzeci pierwiastek dla \(k=2\)
\(z_2=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=\)
\(\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
Interpretacja geometryczna pierwiastków \(\sqrt [3]{1}\)
Odpowiedź
\( \sqrt[3]{1}=\{z_0=1\,\,z_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\,\,z_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\}\)
Rozwiązanie B)
Generatorami grupy pierwiastków n-tego stopnia z jedynki są te pierwiastki \(z_k (k,n)\) dla których:
\(\text{NWD} (n,k)=1\)
Obliczamy \(\text{NWD} (n,k)\)
\(\text{NWD} (3,0)=\text{brak}\)
\(\text{NWD} (3,1)=1\)
\(\text{NWD} (3,2)=1\)
Generatory to \(z_1 , z_2\) czyli \(\{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\,,\, -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\}\) które generują całą grupę
\((z_1)^2=z_2\)
\((z_1)^3=z_0\)
\((z_2)^2=z_1\)
\((z_2)^3=z_0\)
