PIERWIASTKI ZESPOLONE Z JEDYNKI - ZADANIA
Zadanie 2
Oblicz wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z jeden \(\sqrt [4]{1}\)
Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
Dla \(z=1\) mamy \(|z|=1\) oraz \(arg\,(z)={0}\) zatem:
\( \sqrt[4]{1}=\{\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{0+2k\pi}{4}+i\,\sin\frac{0+2k\pi}{4}\right)\) : \(k=0,1,2,3\}\)
dla \(k=0\)
\( z_0=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{0}{4}+i\sin\frac{0}{4}\right)=\)
\(\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=(1+i0)=1\)
dla \(k=1\)
\(z_1=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{2\pi}{4}+i\sin\frac{2\pi}{4}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=(0+i1)=i\)
dla \(k=2\)
\(z_2=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{4\pi}{4}+i\sin\frac{4\pi}{4}\right)=\)
\(\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=(-1+i0)=-1\)
dla \(k=3\)
\(z_2=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=(0-i1)=-i\)
Interpretacja geometryczna pierwiastków \(\sqrt [4]{1}\)
Odpowiedź
\( \sqrt[4]{1}=\{1\,\,,i\,\,,-1\,\,,-i\}\)
