PIERWIASTKI ZESPOLONE Z JEDYNKI - ZADANIA
Zadanie 4
A) Oblicz wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z jeden \(\sqrt [6]{1}\)
B) Znajdź generatory pozostałych pierwiastków
Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
Dla \(z=1\) mamy \(|z|=1\) oraz \(arg\,(z)={0}\) zatem:
\( \sqrt[6]{1}=\{\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{0+2k\pi}{6}+i\,\sin\frac{0+2k\pi}{6}\right)\) : \(k=0,1,2,3,4,5\}\)
dla \(k=0\)
\(z_0=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{0}{6}+i\sin\frac{0}{6}\right)=\)
\(\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=(1+i0)=1\)
dla \(k=1\)
\(z_1=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{2\pi}{6}+i\sin\frac{2\pi}{6}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\)
\(\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
dla \(k=2\)
\(z_2=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{4\pi}{6}+i\sin\frac{4\pi}{6}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=\)
\(\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
dla \(k=3\)
\(z_3=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{6\pi}{6}+i\sin\frac{6\pi}{6}\right)=\)
\(\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=(-1+i0)=-1\)
dla \(k=4\)
\(z_4=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{8\pi}{6}+i\sin\frac{8\pi}{6}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right) =\)
\(\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
dla \(k=5\)
\(z_5=\sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{10\pi}{6}+i\sin\frac{10\pi}{6}\right)=\)
\(\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=\)
\(\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
Interpretacja geometryczna pierwiastków \(\sqrt [6]{1}\)
Rozwiązanie B)
Generatorami grupy pierwiastków n-tego stopnia z jedynki są te pierwiastki \(z_k (k,n)\) dla których:
\(\text{NWD} (n,k)=1\)
Obliczamy \(\text{NWD} (n,k)\)
\(\text{NWD} (6,0)=\text{brak}\)
\(\text{NWD} (6,1)=1\)
\(\text{NWD} (6,2)=2\)
\(\text{NWD} (6,3)=3\)
\(\text{NWD} (6,4)=2\)
\(\text{NWD} (6,5)=1\)
Pierwiastki pierwotne to \(z_1 , z_5\) które generują całą grupę
