PIERWIASTKI ZESPOLONE Z JEDYNKI - ZADANIA
Zadanie 3
A) Oblicz wszystkie pierwiastki piątego stopnia z jeden \(\sqrt [5]{1}\)
B) Znajdź generatory pozostałych pierwiastków
Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
Dla \(z=1\) mamy \(|z|=1\) oraz \(arg\,(z)={0}\) zatem:
\( \sqrt[5]{1}=\{\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{0+2k\pi}{5}+i\,\sin\frac{0+2k\pi}{5}\right)\) : \(k=0,1,2,3,4\}\)
dla \(k=0\)
\( z_0=\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{0}{5}+i\sin\frac{0}{5}\right)=\)
\(\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=(1+i0)=1\)
dla \(k=1\)
\(z_1=\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\approx \)
\((0,31+i0,95)\)
dla \(k=2\)
\(z_2=\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}\right)\approx\)
\((−0.81+i0,59)\)
dla \(k=3\)
\(z_2=\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{6\pi}{5}\right)\approx\)
\((−0.81-i0,59)\)
dla \(k=4\)
\(z_1=\sqrt[5]{1}\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\approx \)
\((-0,31-i0,95)\)
Interpretacja geometryczna pierwiastków \(\sqrt [5]{1}\)
Rozwiązanie B)
Generatorami grupy pierwiastków n-tego stopnia z jedynki są te pierwiastki \(z_k (k,n)\) dla których:
\(\text{NWD} (n,k)=1\)
Obliczamy \(\text{NWD} (n,k)\)
\(\text{NWD} (5,0)=\text{brak}\)
\(\text{NWD} (5,1)=1\)
\(\text{NWD} (5,2)=1\)
\(\text{NWD} (5,3)=1\)
\(\text{NWD} (5,4)=1\)
Generatorami są wszystkie pierwiastki oprócz pierwszego \(z_0=1\)
