PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA

Zadanie 1

Oblicz pierwiastek kwadratowy z minus jeden, czyli: \(\sqrt {-1}\)

Rozwiązanie

Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)

W naszym przypadku \(z=-1\) jest to liczba pod pierwiastkiem

Obliczamy moduł
\(|z|=|-1|=1\)

Obliczamy argumentem \(\displaystyle \varphi\)
\(\arg\,(-1)=\varphi={\pi}\) co widać na rysunku

Dla \(z=-1\) mamy \(|z|=1\) oraz \(\arg\,(z)={\pi}\) zatem:

\( \sqrt {-1}=\{\sqrt[2]{1}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi+2k\pi}{2}\right)\) : \(k=0,1\}\)

Obliczamy pierwszy pierwiastek dla \(k=0\)

\( z_0=\sqrt[2]{1}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2}\right)=1(0+i)=i\)
Z tablic odczytujemy rozwiązanie

Obliczamy drugi pierwiastek dla \(k=1\)

\(z_1=\sqrt[2]{1}\left(\cos\frac{\pi+2\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi+2\pi}{2}\right)=\) \({1}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2}\right)=\)\((0-i)=-i\)

Odpowiedź

\( \sqrt{-1}=\{-i,i\}\)

→ dalej Zadania nr 2 →