Pierwiastkiem stopnia \(n\in \mathbb{N}\) z liczby zespolonej \(z\) nazywamy każdą liczbę zespoloną \(w\) spełniająca równość: \[\large\displaystyle w^n=z\] Zbiór pierwiastków stopnia \(n\) z liczby zespolonej \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\)
| w zbiorze \(\mathbb{R}\) | w zbiorze \(\mathbb{C}\) |
|---|---|
| \(\sqrt 1=1\) | \(\sqrt 1=\{1, -1\}\) |
| \(\sqrt {-1}=\) nie istnieje | \(\sqrt {-1}=\{i,-i\}\) |
| \(\sqrt [4]{1}=1\) | \(\sqrt [4]{1}=\{1,i,-1,-i\}\) |
| \(\sqrt {x^2}=|x|\) | \(\sqrt {z^2}=\{z,-z\}\) |
Każda liczba zespolona \(z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\) gdzie: \(|z|>0\) (moduł) oraz \(\varphi\in \mathbb{R}\) (argument), ma dokładnie \(n\) pierwiastków stopnia \(n\).
Zbiór tych pierwiastków ma postać:
\[\sqrt [n]{z}=\{z_0, z_1, z_2, ... , z_{n-1}\}\]
gdzie:
\[\displaystyle z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\]
dla: \(k=0,1,2,...,n-1\)
Zbiór pierwiastków n-tego stopnia \((n\ge3)\) z liczby zespolonej \(z\) tworzy wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\)
Jeden z wierzchołków tego wielokąta jest w punkcie \[z_0=\sqrt[n]{|z|}\left (\cos\frac{\varphi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi}{n}\right )\] pozostałe punkty możemy wyznaczyć ze wzoru: \[z_k=z_0\left (\cos\frac{2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{2k\pi}{n}\right )\]gdzie: \(1\le k\le n-1\)
Przy czym kąt między wodzącymi wierzchołków są równe \(\frac{2\pi}{n}\)
Kąt między wektorem wodzącym pierwiastka \(z_0\) a osią Re z jest równy \(\frac{\varphi}{n}\)
← wstecz Postać wykładnicza liczby zespolonej ←