PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA
Zadanie 2
Oblicz pierwiastek trzeciego stopnia z jednostki urojonej, czyli: \(\sqrt [3]{i}\)
Obliczamy pierwiastki korzystając ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
W naszym przypadku \(z=i\) jest to liczba pod pierwiastkiem oraz \(n=3\)
Obliczamy moduł
\(|z|=|i|=1\)
Obliczamy argumentem \(\displaystyle \varphi\)
\(\arg\,(i)=\varphi={\frac{\pi}{2}}\) co widać na rysunku
Dla \(z=i\) mamy \(|z|=1\) oraz \(\arg\,(z)={\frac{\pi}{2}}\) zatem:
\( \sqrt[3] {i}=\{\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\,\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)\) : \(k=0,1\}\)
dla \(k=0\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{\pi}{2}}{3}=\frac{\pi}{6}\)
\( z_0=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac12\)
Z tablic odczytujemy rozwiązanie
dla \(k=1\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}=\frac{\frac{5\pi}{2}}{3}=\frac{5\pi}{6}\)
\( z_1=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\,\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{-\sqrt3}{2}+i\frac12\)
dla \(k=2\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}=\frac{\frac{9\pi}{2}}{3}=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}\)
\( z_2=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-i\)
Interpretacja geometryczna
Odpowiedź
\( \sqrt[3]{i}=\{z_0=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac12 \,\, ; \,\, z_1=\frac{-\sqrt3}{2}+i\frac12 \,\, ; \,\, z_2=-i\}\)
