PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA
Zadanie 5
Oblicz pierwiastek zespolony: \(\sqrt {-1+i\sqrt3}\)
Pierwiastki odbliczamy ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
W naszym przypadku \(z=-1+i\sqrt3\) , gdzie \(z+a+ib\) , oraz \(n=2\)
Moduł
\(|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2\)
Argumentem \(\displaystyle \varphi\)
\( \left\{ \begin{array}{cl}
\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{-1}{2} \\
\sin\varphi=\frac{v}{|z|}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow \varphi=\frac{2\pi}{3} \)
Z tablic argumentów odczytujemy rozwiązanie
Dla \(z=-1+i\sqrt3\) mamy \(|z|=2\) oraz \(\arg(z)={\frac{2\pi}{3}}\) zatem:
\( \sqrt{-1+i\sqrt3}=\{\sqrt2\left(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}+i\,\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}\right)\) : \(k=0,1\}\)
dla \(k=0\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{2\pi}{3}}{2}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)
\( z_0=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt2\left (\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt6}{2}\)
Z tablic odczytujemy rozwiązanie
dla \(k=1\) kąt wynosi: \( \frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{2}=\frac{\frac{8\pi}{3}}{2}=\frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}\)
\( z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\,\sin\frac{4\pi}{3}\right)=\)\(\sqrt2\left(-\cos\frac{\pi}{3}-i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)\)=\(\sqrt2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=\)\(-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2}\)
\( \cos\frac{4\pi}{3}=\cos\left (\frac{3\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right )=-\cos\frac{\pi}{3}\)
\( \sin\frac{4\pi}{3}=\sin\left (\frac{3\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right )=-\sin\frac{\pi}{3}\)
Interpretacja geometryczna
Odpowiedź
\( \sqrt {-1+i\sqrt3}=\{z_0=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt6}{2} \,\, ; \,\, z_1=-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2} \} \)
