PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA
Zadanie 4
Oblicz pierwiastek trzeciego stopnia z liczby zespolonej: \(-i8\), czyli \(\sqrt [3]{-i8}\)
Pierwiastki odbliczamy ze wzoru \( z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\) dla: \(\small k=0,1,...,n-1\)
W naszym przypadku \(z=-i8\) , oraz \(n=3\)
Moduł
\(|z|=8\)
Argumentem \(\displaystyle \varphi\)
\(\arg\,(-i8)\Rightarrow\varphi={\frac{3\pi}{2}}\)
licza zespolona \(z=-i8\) leży na prostej \(x=0\) która nachylona jest pod kątem \(\frac{3\pi}{2}\) do osi \(OX\)
Dla \(z=-i8\) mamy \(|z|=8\) oraz \(\arg\,(z)={\frac{3\pi}{2}}\) zatem:
\( \sqrt [3]{-i8}=\{\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\,\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)\) : \(k=0,1,2\}\)
dla \(k=0\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{3\pi}{2}}{3}=\frac{3\pi}{2\cdot3}=\frac{\pi}{2}\)
\( z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2}\right)=2\left (0+i1\right )=2i\)
Z tablic odczytujemy rozwiązanie
dla \(k=1\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{3\pi}{2}+2\pi}{3}=\frac{\frac{7\pi}{2}}{3}=\frac{7\pi}{6}\)
\( z_1=2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\,\sin\frac{7\pi}{6}\right)=\)\(2\left(-\cos\frac{\pi}{6}-i\,\sin\frac{\pi}{6}\right)\)=\(2\left(\frac{-\sqrt3}{2}-i\frac12\right)=\)\(-\sqrt3-i\)
\( \cos\frac{7\pi}{6}=\cos\left (\frac{6\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right )=-\cos\frac{\pi}{6}\)
\( \sin\frac{7\pi}{6}=\sin\left (\frac{6\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right )=-\sin\frac{\pi}{6}\)
dla \(k=2\) kąt wynosi: \(\large \frac{\frac{3\pi}{2}+4\pi}{3}=\frac{\frac{11\pi}{2}}{3}=\frac{11\pi}{6}\)
\( z_2=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\,\sin\frac{16\pi}{6}\right)=\)\(2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\,\sin\frac{\pi}{6}\right)\)=\(2\left(\frac{\sqrt3}{2}-i\frac12\right)=\)\(\sqrt3-i\)
\( \cos\frac{11\pi}{6}=\cos\left (\frac{12\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right )=\cos\frac{\pi}{6}\)
\( \sin\frac{11\pi}{6}=\sin\left (\frac{12\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right )=-\sin\frac{\pi}{6}\)
Interpretacja geometryczna
Odpowiedź
\( \sqrt[3]{i}=\{z_0=2i \,\, ; \,\, z_1=-\sqrt3-i \,\, ; \,\, z_2=\sqrt3-i\}\)
