SPRZĘŻENIE LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 5
Udowodnić równość : \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)
\(\overline{z_1\cdot z_2}=\)
Podstawiamy \(z_1=a_1+ib_1\) \(z_2=a_2+ib_2\)
\(\overline{(a_1+ib_1)\cdot(a_2+ib_2)}=\)
Wykonujemy mnożenie
\(\overline{a_1a_2 +ia_1b_2+ia_2b_1-b_1b_2}=\)
Segregujemy wyrazy i wstawiamy nawiasy
\(\overline{(a_1a_2 -b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1)}=\)
Korzystamy z definicji liczby sprzężone
\((a_1a_2 -b_1b_2)-i(a_1b_2+a_2b_1)=\)
Opuszczamy nawiasy
\(a_1a_2 -b_1b_2-ia_1b_2+ia_2b_1=\)
Segregujemy wyrazy
\(a_1a_2 -ia_1b_2+ia_2b_1-b_1b_2=\)
\((a_1-ib_1)\cdot(a_2-ib_2)=\)
Ponownie korzystamy z definicji liczby sprzężonej
\(\overline{(a_1+ib_1)}\cdot\overline{(a_2+ib_2)}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)
Co kończy dowód
