SPRZĘŻENIE LICZBY ZESPOLONEJ

Definicja (Liczba sprzężona)

Niech dana będzie liczba zespolona \(z=(a+ib) \)
Liczbę \(\large\overline{z}\) nazywamy liczbą sprzężoną do liczby zespolonej \(\large z\) i jest określona wzorem: \[\large \overline {z}=a-ib\] gdzie: \(a, b\in \mathbb{R}\) - liczby rzeczywiste
\(i\) - jednostka urojona

Interpretacja geometryczna sprzężenia liczby zespolonej

Liczba sprzężona \(\large\bar{z}\) do liczby zespolonej \(\large z\) jest symetryczna względem osi Re z

Podstawowe własności sprzężenia liczb zespolonych.

1. \( \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)

2. \( \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\)

3. \( \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)

4. \(\displaystyle \overline{\left(\frac {z_1}{ z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)

5. \(\overline{({\overline{z})}}=z\)

SPRZĘŻENIE LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA

Zadanie 1

Napisz liczby sprzężone do liczb \(z_1=3+4i \,\,\,\,\, z_2=3-4i\) \(z_3=-3+4i \,\,\,\,\, z_4=-3-4i\)

Rozwiązanie

Zadanie 2

Napisz liczby sprzężone do liczb \(z_1=\sqrt{5} \,\,\,\,\, z_2=-4\) \(z_3=-i \,\,\,\,\, z_4=i2\)

Rozwiązanie

Zadanie 3

Udowodnić równość : \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)

Rozwiązanie

Zadanie 4

Udowodnić równość : \(\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\)

Rozwiązanie

Zadanie 5

Udowodnić równość : \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)

Rozwiązanie

Zadanie 6

Udowodnić równość : \(z+\overline{z}=2Re \, z\)

Rozwiązanie

Zadanie 7

Udowodnić równość : \(z-\overline{z}=2i Im \, z\)

Rozwiązanie