WZÓR DE MOIVRE'A - POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA
Zadanie 1
Korzystając ze wzoru de Moivre'a oblicz \((1-i)^6\)
W pierwszej kolejności przekształcamy liczbę zespoloną \((1-i)\) do postaci trygonometrycznej.
W tym celu obliczamy moduł liczby zespolonej, stosując wzór \( \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\( \left | z \right |=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt2\)
Teraz obliczamy argument liczby zespolonej.
Zauważmy, że liczba \(z=1-i\) leży na prostej \(y=-x\) która nachylona jest do osi OX pod kątem \(-\frac{\pi}4\) zatem \(arg\,z=-\frac{\pi}4\)
Obliczony moduł \(\sqrt2\) i argument \(-\frac{\pi}4\) wstawiamy do wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \( z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
\(\displaystyle 1-i=\sqrt2 [\cos (-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})]\)
Korzystając ze wzorów redukcyjnych \(cos (-\alpha)=cos\alpha\) oraz \(sin (-\alpha)=-sin \alpha\)
\(\displaystyle 1-i=\sqrt2 (\cos \frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4})\)
Mając liczbę w postaci trygonometrycznej możemy zastosować wzór de Moivre'a \(\displaystyle z^n=\left | z \right |^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\)
\(\displaystyle (1-i)^6=[\sqrt2 (\cos \frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4})]^6=\)
\(\displaystyle (\sqrt2)^6 (\cos 6\frac{\pi}{4}-i\sin6\frac{\pi}{4})=\)
\(\displaystyle 8 (\cos \frac{3\pi}{2}-i\sin\frac{3\pi}{2})=\)
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych
odczytujemy że: \(\displaystyle \cos \frac{3\pi}2=0 \) oraz \(\displaystyle \sin \frac{3\pi}2=-1 \) zatem
\(\displaystyle 8 [0+i(-1)]=8i\)
