WZÓR DE MOIVRE'A - POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA

Liczba \(z=(1+i\sqrt3)\) posiada współczynnik \(a=1\,,\,b=\sqrt3\)

Obliczamy moduł liczby zespolonej, stosując wzór \( \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\( \left | z \right |=\sqrt{1^{2}+(\sqrt3)^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt4=2\)

Teraz obliczamy argument liczby zespolonej stosując wzory:   \(cos\varphi =\large\frac{a}{\left | z \right |}\)   \(sin\varphi =\large\frac{b}{\left | z \right |}\)
\(cos\varphi =\large\frac{\sqrt3}{2}\)

\(sin\varphi =\large\frac{1}{2}\)

Na podstawie otrzymanych wartości funkcji sinus i cosinus odczytujemy z : tabela argumentów liczb zespolonych
\(\displaystyle\varphi =\frac{\pi}{3}\)

Obliczony moduł \(2\) i argument \(\frac{\pi}3\) wstawiamy do wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \( z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
\(\displaystyle (1+i\sqrt3)=2 (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\)

Mając liczbę w postaci trygonometrycznej stosujemy wzór de Moivre'a   \(\displaystyle z^n=\left | z \right |^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\)
\(\displaystyle (1+i\sqrt3)^8=[2 (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})]^8=\)
\(\displaystyle 2^8 [\cos (8\frac{\pi}{3})+i\sin(8\frac{\pi}{3})]=\) \( \frac{8\pi}{3}= \frac{6\pi}{3}+\frac{2\pi}3=2\pi+\frac{2\pi}3\)
\(\displaystyle 2^8 [\cos (2\pi+\frac{2\pi}{3})+i\sin(2\pi+\frac{2\pi}{3})]=\) Funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi o okresie \(2\pi\)
\(\displaystyle 2^8 [\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}]=\)
stosujemy wzory redukcyjne :
\(\cos \frac{2\pi}{3}=cos(\pi-\frac{\pi}3)=-cos \frac{\pi}3=-\frac12\)       \(\sin \frac{2\pi}{3}=sin(\pi-\frac{\pi}3)=sin \frac{\pi}3=\frac{\sqrt3}2\)
\(\displaystyle 2^8 (-\frac12+i\frac{\sqrt3}2)= 2^7 (-1+i{\sqrt3})\)