WZÓR DE MOIVRE'A - POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Twierdzenie (Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych)
Niech dana będzie liczba zespolona w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin \varphi)\) oraz \(n\in \mathbb{N}\) wtedy:
\[\large\displaystyle z^n=\left | z \right |^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\]
gdzie:
\( \left | z \right | \geqslant 0 \) - moduł liczby zespolonej \(z\)
\(\varphi\in \mathbb{R}\) - jeden z argumentów liczby zespolonej \(z\)
Wzór ten umożliwia obliczanie potęgi liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej, co ułatwia rozwiązywanie złożonych równań matematycznych i innych problemów, w których występują liczby zespolone.
Formuła ta nosi nazwisko matematyka francuskiego Antoine'a de Moivre'a (1667-1754) który opracował i opublikował go w I połowie XVIII wieku.
Ilustracja do wzoru de Moivre'a
WZÓR DE MOIVRE'A - POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA
Zadanie 1
Korzystając ze wzoru de Moivre'a oblicz \((1-i)^6\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Korzystając ze wzoru de Moivre'a oblicz potęgę liczby zespolonej \(\displaystyle(1+i\sqrt3)^8\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Oblicz potęgę liczby zespolonej \(\displaystyle(-\frac12+i\frac{\sqrt3}2)^3\)
Rozwiązanie
