WZÓR DE MOIVRE'A - POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA

Liczba \((-\frac12+i\frac{\sqrt3}2)^3\) posiada współczynnik \(a=-\frac12\,,\,b=\frac{\sqrt3}2\)

Obliczamy moduł liczby zespolonej, stosując wzór \( \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\( \left | z \right |=\sqrt{(-\frac12)^{2}+(\frac{\sqrt3}2)^{2}}=\sqrt{\frac14+\frac34}=\sqrt{\frac44}=1\)

Teraz obliczamy argument liczby zespolonej stosując wzory:   \(cos\varphi =\large\frac{a}{\left | z \right |}\)   \(sin\varphi =\large\frac{b}{\left | z \right |}\)
\(cos\varphi =-\large\frac{1}{2}\)

\(sin\varphi =\large\frac{\sqrt3}{2}\)

Na podstawie otrzymanych wartości funkcji sinus i cosinus odczytujemy z : tabela argumentów liczb zespolonych
\(\displaystyle\varphi =\frac{2\pi}{3}\)

Obliczony moduł \(1\) i argument \(\frac{2\pi}3\) wstawiamy do wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \( z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
\(\displaystyle (-\frac12+i\frac{\sqrt3}2)=1 (\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\)

Mając liczbę w postaci trygonometrycznej stosujemy wzór de Moivre'a   \(\displaystyle z^n=\left | z \right |^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\)
\(\displaystyle (-\frac12+i\frac{\sqrt3}2)^3=[1(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})]^3=\)
\(\displaystyle 1^3 [\cos (3\frac{2\pi}{3})+i\sin(3\frac{2\pi}{3})]=\) Trójki się skracają
\(\displaystyle \cos 2\pi+i\sin2\pi=1\) \(\cos 2\pi=1\)       \(\sin 2\pi=0\)