WZORY EULERA - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz wartości podanych wyrażeń i zaznacz je na płaszczyźnie zespolonej: a) \(e^{i\frac{\pi}2}\) b) \(e^{-i{\pi}}\)
\(e^{i\frac{\pi}2}\)
Korzystamy ze wzoru Eulera \(\displaystyle e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)
\(\displaystyle e^{i\frac{\pi}2}=\cos {\frac{\pi}2}+i\sin {\frac{\pi}2}\)
\( \cos {\frac{\pi}2}=0\) \( \sin {\frac{\pi}2}=1\)
\(\displaystyle e^{i\frac{\pi}2}=0+i1=i\)
\(e^{-i{\pi}}\)
\(\displaystyle e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)
\(\displaystyle e^{-i\pi}=\cos ({-\pi})+i\sin ({-\pi})\)
\( \cos ({-\pi})=\cos {\pi}\) \( \sin ({-\pi})=-\sin {\pi}\)
\(\displaystyle e^{-i\pi}= \cos {\pi}-i\sin {\pi}\)
\( \cos {\pi}=-1\) \( \sin {\pi}=0\)
\(\displaystyle e^{i\frac{\pi}2}=-1+i0=-1\)
Odpowiedź
a) \(\displaystyle e^{i\frac{\pi}2}=i\)
b) \(\displaystyle e^{i\pi}=-1\)
