WZORY EULERA - ZADANIA
Zadanie 2
Oblicz wartości podanych wyrażeń i zaznacz je na płaszczyźnie zespolonej: a) \(e^{i\frac{5\pi}6}\) b) \(e^{i}\)
\(e^{i\frac{5\pi}6}\)
Korzystamy ze wzoru Eulera \(\displaystyle e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)
\(\displaystyle e^{i\frac{5\pi}6}=\cos {\frac{5\pi}6}+i\sin {\frac{5\pi}6}=\)
\(\displaystyle =\cos (\pi-{\frac{\pi}6})+i\sin (\pi-{\frac{\pi}6})\)
\( \cos ({\pi-\alpha})=-\cos {\alpha}\) \( \sin ({\pi-\alpha})=\sin {\alpha}\)
\(\displaystyle =-\cos {\frac{\pi}6}+i\sin {\frac{\pi}6}\)
\( \cos {\frac{\pi}6}=\frac{\sqrt3}2\) \( \sin {\frac{\pi}6}=\frac12\)
\(\displaystyle e^{i\frac{5\pi}6}=-\frac{\sqrt3}2+i\frac12\)
\(e^{i}\)
\(\displaystyle e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) w tym przypadku \(\varphi=1\) radian
\(\displaystyle e^{i}=\cos 1+i\sin 1\)
\(\cos 1\approx 0,54\,\,\,\,\sin1\approx0,84\)
\(\displaystyle e^{i}\approx0,54+i0,84\)
\(1 radian \approx 57,3^o\)
Odpowiedź
a) \(\displaystyle e^{i\frac{5\pi}6}=-\frac{\sqrt3}2+i\frac12\)
b) \(\displaystyle e^{i}\approx0,54+i0,84\)
