Wzór Eulera ma postać:
\[\large e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\]
gdzie:
\(i\) - jest jednostką urojoną
\(\varphi\in \mathbb{R}\) - liczba rzeczywista
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \)
\(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \)
\(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \)
W szczególności jeżeli \(x=i\varphi\) wówczas:
\(e^{i\varphi}=1+i\varphi+\frac{(i\varphi)^2}{2!}+\frac{(i\varphi)^3}{3!}+\frac{(i\varphi)^4}{4!}+\cdots=\) \((1-\frac{\varphi^2}{2!}+\frac{\varphi^4}{4!}-\cdots)+i(\varphi-\frac{{\varphi}^3}{3!}+\frac{{\varphi}^5}{5!}-\cdots)=\) \(\cos\varphi+i\sin\varphi\)
Jest to liczba leżąca na okręgu o promieniu jeden.
Niech \(x\in \mathbb{R}\). Wówczas zachodzą wzory:
\(\left\{\begin{matrix} e^{i\varphi}=& \cos\varphi+i\sin\varphi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ e^{-i\varphi}= &\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi) \end{matrix}\right.\)
Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
\(\left\{\begin{matrix} e^{i\varphi}=& \cos\varphi+i\sin\varphi \\ e^{-i\varphi}= &\cos\varphi-i\sin\varphi \end{matrix}\right.\)
Dodając i odejmując stronami układ równań otrzymujemy:
\(e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x\)
\(e^{ix}-e^{-ix}=i2\sin x\)
Po podzieleniu stronami równań przez \(2\) i \(i2\) otrzymamy ostatecznie:
\(\displaystyle\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)
\(\displaystyle\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
← wstecz Wzór de Moivre'a ←