WZORY EULERA - ZADANIA
Zadanie 4
Korzystając ze wzorów Eulera wyrazić \(\cos^3x\) w zależności od sinusów lub cosinusów wielokrotności kąta x
Ze wzoru Eulera mamy : \(\displaystyle\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)
\(\displaystyle \cos^3x=\left (\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right )^3\)
Stosujemy wzór dwumianowy Newtona
\(\displaystyle =\frac1{2^3}\left[\binom{3}{0} \left(e^{ix}\right)^3 \left(e^{-ix}\right)^0+\binom{3}{1} \left(e^{ix}\right)^2 \left(e^{-ix}\right)^1+\binom{3}{2} \left(e^{ix}\right)^1 \left(e^{-ix}\right)^2+\binom{3}{3} \left(e^{ix}\right)^0 \left(e^{-ix}\right)^3\right]\)
\(\displaystyle =\frac1{2^3}\left[ \left(e^{3ix}\right)+3 \left(e^{2ix}\right) \left(e^{-ix}\right)+3 \left(e^{ix}\right) \left(e^{-2ix}\right)+ \left(e^{-3ix}\right)\right]\)
\(\displaystyle =\frac1{2^3}\left( e^{3ix}+3 e^{ix}+3 e^{-ix} + e^{-3ix}\right)\)
\(\displaystyle = \frac1{2^2}\left(3\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x\)
\(\displaystyle = \frac1{4}\left(3\cos x+\cos 3x\right)\)
Odpowiedź
a) \(\displaystyle \cos^3x= \frac1{4}\left(3\cos x+\cos 3x\right)\)
