WZORY EULERA - ZADANIA
Zadanie 3
Korzystając ze wzorów Eulera wyrazić \(\sin^2x\) w zależności od sinusów lub cosinusów wielokrotności kąta x
Ze wzoru Eulera mamy : \(\displaystyle\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
\(\displaystyle \sin^2x=\left (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right )^2\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia : \(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\displaystyle =\frac {\left(e^{ix}\right)^2-2 e^{ix}e^{-ix}+\left(e^{-ix}\right)^2}{(2i)^2}\)
\(\displaystyle 2 e^{ix}e^{-ix}=2e^{ix-ix}=2e^0=2\)
\(\displaystyle \frac{1}{(2i)^2}=-\frac14\)
\(\displaystyle =\frac {e^{2ix}-2 +e^{-2ix}}{-4}\)
\(\displaystyle =\frac{-2}{-4} -\frac12\left(\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2} -\frac12 \cos2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\)
Odpowiedź
a) \(\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\)
