RÓWNANIA LOGARYTMICZNE - ZADANIA
Zadanie 3
Oblicz liczbę \(x\) jeżeli: \(\displaystyle \log_2 (-x^2+6x-5)=2\)
Założenia
Z definicji liczba logarytmowana musi być większa od zera
\(-x^2+6x-5>0\)
Obliczamy deltę \(a=-1,\,b=6,\,c=-5\)
\(\Delta= 6^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=36-20=16\)
\(\Delta =b^2-4ac\)
\(\sqrt\Delta =\sqrt{16}=4\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-6-4}{-2}=\frac{-10}{-2}=5\)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-6+4}{-2}=\frac{-2}{-2}=1\)
\( x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\)
Szkicujemy wykres funkcji z którego odczytujemy dziedzinę
Dziedziną jest zbiór \(\displaystyle x \in (1,5)\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle \log_2 (-x^2+6x-5)=2\)
Korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) gdzie \( a=2 , b=(-x^2+6x-5)=2) , c=2 \)
\(2^2=-x^2+6x-5\)
\(4=-x^2+6x-5\)
\(-x^2+6x-9=0\)
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe
\(\Delta = 6^2-4\cdot(-1)\cdot(-9)=36-36=0\)
Delta równa się zero mamy więc tylko jedno miejsce zerowe
\(\displaystyle x_0=\frac{-6}{-2}=3\)
\( x_0=\frac{-b}{2a}\)
\(x=3\)
Liczba 3 należy do dziedziny więc jest rozwiązaniem naszego zadania
