RÓWNANIA LOGARYTMICZNE - ZADANIA
Zadanie 4
Oblicz liczbę \(x\) jeżeli: \(\displaystyle \log_{(x+1)} (x^2-5x+6)=2\)
Założenia
Po pierwsze podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od 1
\(x+1>0\) i \(x+1\neq 1\)
\(x>-1\) i \(x\neq 0\)
\(x\in (-1,0)\cup(0,\infty)\)
Po drugie liczba logarytmowana musi być większa od zera.
\(x^2-5x+6>0\)
Mamy tu do rozwiązania nierówność kwadratową
\(\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\)
Obliczamy deltę \(\Delta= b^2-4ac\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-5)-1}{2}=\frac{4}{2}=2\)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-5)+1}{2}=\frac{6}{2}=3\)
\( x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\)
\(x\in (-\infty ,2)\cup(3,\infty )\)
Wyznaczając część wspólną przedziałów otrzymujemy dziedzinę
\(x\in (-1 ,0)\cup(0,2 )\cup(3,\infty )\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle \log_{(x+1)} (x^2-5x+6)=2\)
Korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) gdzie \( a=(x+1) , b=(x^2-5x+6)=2) , c=2 \)
\((x+1)^2=x^2-5x+6\)
\(x^2+2x+1=-x^2-5x+6\)
Po redukcji otrzymujemy
\(7x=5\)
\(\displaystyle x=\frac57\)
Liczba \(\frac57\) należy do dziedziny więc jest rozwiązaniem naszego zadania
Odpowiedź
\(\displaystyle x=\frac57\)
