RÓWNANIA LOGARYTMICZNE - ZADANIA
Zadanie 5
Oblicz liczbę \(x\) jeżeli: \(\displaystyle \log_{3} (\log_2 x)=1\)
Założenia
Określiliśmy dziedzinę równania. Mamy dwa warunki
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \;\;\;\, \, \\
\log_2x>0
\end{array} \right.
\)
W drugiej nierówności zamieniamy \(0=\log_21\)
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \,\,\,\qquad\, \\
\log_2x>\log_21
\end{array} \right.
\)
Opuszczamy logarytmy w drugim równaniu
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \\
x>1
\end{array} \right.
\)
Wyznaczając część wspólną przedziałów otrzymujemy dziedzinę
\(x\in(1,\infty) \)
Nasza dziedzina
Rozwiązanie
\(\displaystyle \log_{3} (\log_2 x)=1\)
Korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) gdzie \( a=3 , b=\log_2 x , c=1 \)
\(\log_2x=3^1\)
Powtórnie korzystamy z definicji logarytm gdzie \( a=2 , b= x , c=3 \)
\(x=2^3\)
\(x=8\)
Liczba \(8\) należy do dziedziny więc jest rozwiązaniem naszego zadania
