ZMAIANA PODSTAWY LOGARYTMU - ZADANIA
Zadanie 7
Oblicz logarytm \(\displaystyle\log_{\sqrt{ab}}\frac{a}{b}\) wiedząc, że \(\log_{a}b=2\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\log_{\sqrt{ab}}\frac{a}{b}\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle \log_a{\frac{x_1}{x_2}}= \log_a x_1-\log_a x_2\)
\(\displaystyle\log_{\sqrt{ab}}{a}-\log_{\sqrt{ab}}{b}\)
\(\sqrt{ab}=(ab)^{\frac12}\)
\(\displaystyle \log_{(ab)^{\frac12}}a-\log_{(ab)^{\frac12}}{b}\)
\( \log_{a^n}b= \frac1n\cdot\log_ab \)
\(\displaystyle 2\log_{ab}a-2\log_{ab}{b}\)
Przekształcamy logarytmy stosując wzór \( \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\) za \(c\) podstawiamy \(a\) czyli \(c=a\)
\(\displaystyle \frac {2\log_{a}a}{\log_{a}{ab}}-\frac {2\log_{a}b}{\log_{a}{ab}}\)
Zapisujemy w postaci jednego mianownika
\(\displaystyle \frac {2\log_{a}a-{2\log_{a}b}}{\log_{a}{ab}}\)
\(\displaystyle \log_aa=1\) oraz \(\log_{a}b=2\)
\(\displaystyle \frac {2-4}{\log_{a}{ab}}\)
\(\displaystyle \log_a(x_1\cdot x_2)= \log_a x_1+\log_a x_2\)
\(\displaystyle \frac {-2}{\log_{a}{a}+\log_{a}{b}}\)
\(\displaystyle \log_aa=1\) oraz \(\log_{a}b=2\)
\(\displaystyle \frac {-2}{1+2}=\frac{-2}{3}\)
Odpowiedź
Jeżeli \(\log_{a}b=2\) wówczas \(\displaystyle\log_{\sqrt{ab}}\frac{a}{b}=\frac{-2}{3}\)
