ZMAIANA PODSTAWY LOGARYTMU - ZADANIA
Zadanie 6
Oblicz logarytm \(\displaystyle\log_{7}16\) wiedząc, że \(\log_{14}2=a\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\log_{7}16\)
Przekształcamy stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu: \( \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\) za \(c\) podstawiamy \(c=14\)
\(\displaystyle \frac{\log_{14} 16}{\log_{14} 7}\)
\(16=2^4\)
\(\displaystyle \frac{\log_{14} 2^4}{\log_{14} 7}\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle \log_a x^m= m\cdot\log_a x\)
\(\displaystyle \frac{4\log_{14} 2}{\log_{14} 7}\)
Z treści zadania wiemy, że: \(\log_{14}2=a\), podstawmy zatem tę wartość w liczniku
\(\displaystyle \frac{4a}{\log_{14} 7}\)
\(7=\frac{14}2\)
\(\displaystyle \frac{4a}{\log_{14} \frac{14}2}\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle \log_a{\frac{x_1}{x_2}}= \log_a x_1-\log_a x_2\)
\(\displaystyle \frac{4a}{\log_{14}14-\log_{14}2}\)
\(\log_{14}14=1\,\,\,a\,\,\,\log_{14}2=a\)
\(\displaystyle \frac{4a}{1-a}\)
Odpowiedź
Jeżeli \(\log_{14}2=a\) wówczas \(\displaystyle\log_{7}16=\frac{4a}{1-a}\)
