IMPLIKACJA

Definicja (Implikacja)

Implikacja (wynikanie) nazywamy dwa zdania \(p,q\) połączone w następujący sposób:

jeżeli \(p\) , to \(q\)

Zdanie pierwsze \(p\) nazywamy poprzednikiem implikacji, lub założeniem
natomiast zdanie drugie \(q\) następnikiem implikacji, lub tezą

Implikację zapisujemy symbolem: \(\Rightarrow \)

Zatem implikację dwóch zdań: jeżeli \(p\) , to \(q\) zapisujemy \(p\Rightarrow q\)

Definicja (Prawdziwość i fałszywość implikacji)

Implikacja jest prawdziwa w każdym przypadku z wyjątkiem jednego: gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy.

Logiczną wartość implikacji w zależności od wartości logicznej zdań \(p\) i \(q\) ilustruje tabelka:

\(p\)	\(q\)	\(p\Rightarrow q\)
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Przykłady zdań prawdziwych

jeżeli 7 jest liczbą parzystą, to 8 \(\leqslant\) 3

jeżeli 2+2=5, to 2+2=4

implikacja zdań fałszywego i prawdziwego

jeżeli 8 jest liczbą parzystą, to 8 - 6 = 2

implikacja zdań prawdziwego i prawdziwego

Przykład zdania fałszywego

jeżeli 5 jest liczbą pierwszą, to 4 >12

implikacja zdań prawdziwego i fałszywego

Uwagi

Wzór \(p \Rightarrow q\) przyjęło się odczytywać jako jeżeli p to q jest to dość niefortunne, gdyż sens tego wyrażenia w języku potocznym jest odmienny.

W języku codziennym, mówiąc jeżeli... to ..., wyrażamy relację przyczynowo-skutkową lub logiczną między zdaniami \(p\) i \(q\), w wyniku której ze zdania p wynika zdanie q
Np. zdanie:

"Jeśli dziś jest wtorek to jutro będzie środa"

uznajemy za zdanie prawdziwe, natomiast zdania:

"jeżeli 5 jest liczbą parzystą to \(2\cdot4=8\)

"jeżeli \(0 > 5\) to \(2\cdot4=9\)

uznamy za zdania pozbawione sensu. Ale wszystkie te zdania musimy uznać za prawdziwe jeżeli chcemy być zgodni z definicją implikacji.

Próbowano budować rachunek zdań w ten sposób aby implikacja pokrywała się z intuicyjnym znaczeniem wyrażenia jeżeli... to ... czyli by zdanie \(p \Rightarrow q\) było prawdziwe gdy q jest konsekwencją zdania p.
Implikację taką nazywano implikacją ścisłą.
Niestety implikacji takiej nie sposób opisać za pomocą tabelki logicznych wartości, ponieważ zdanie p implikuje ściśle zdanie q nie zależy tylko od prawdziwości i fałszywości zdań p i q ale zależy też od ich sensu. Dlatego logika oparta na implikacji ścisłej napotkała poważne trudności w formalizacji.