METODA ZERO JEDYNKOWA - ZADANIA
Zadanie 1
Metodą zero jedynkową udowodnij tautologię:
Prawo eliminacji implikacji
Rozwiązanie
Prawo eliminacji implikacji ma postać: \((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\)
Tworzymy tabelkę w pierwszym wierszu wypisujemy na początku zdania proste \(p\) i \(q\)
a następnie coraz bardziej złożone zdania aż dojdziemy do całego zdania logicznego.
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\(( \sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
W pierwszej i drugiej kolumnie wypisujemy wszystkie możliwe wartości zdań prostych (1 to zdanie prawdziwe, 0 to zdanie fałszywe).
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\((\sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| \(0\) |
\(0\) |
|
|
|
|
| \(0\) |
\(1\) |
|
|
|
|
| \(1\) |
\(0\) |
|
|
|
|
| \(1\) |
\(1\) |
|
|
|
|
Wypełniamy trzecią kolumnę w niej wypisujemy zaprzeczenie zdania \(q\) .
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\((\sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
|
|
|
| \(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
|
|
| \(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
|
|
|
| \(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
|
|
|
Wypełniamy czwartą kolumnę wyznaczamy wartość logiczną implikacji \((p\Rightarrow q)\) korzystając z wartości zdań prostych.
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\((\sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
|
| \(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
|
| \(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
|
|
| \(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
|
|
Wypełniamy piątą kolumnę, obliczamy alternatywę zdania \(\sim p\) i zdania \(q\) korzystamy z wartości drugiej i trzeciej kolumny.
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\((\sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
| \(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
| \(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
|
| \(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
|
Na końcu wyznaczamy wartość logiczną całego zdania \((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) czyli wyznaczamy wartość logiczną równoważności czwartej i piątej kolumny.
| \(p\) |
\(q\) |
\(\sim p\) |
\(p\Rightarrow q\) |
\((\sim p\,\vee q)\) |
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
| \(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
| \(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
| \(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
Odpowiedź
W ostatniej kolumnie otrzymaliścmy same jedynki, zatem nasze zdanie jest tautologią
