Logo strony doKwadratu

METODA ZERO JEDYNKOWA - ZADANIA

Zadanie 3
Metodą zero jedynkową udowodnij Prawo de'Morgana - zaprzeczenie koniunkcji
Rozwiązanie
Prawo de'Morgana zaprzeczenie koniunkcji ma postać: \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
Tworzymy tabelkę w pierwszym wierszu wypisujemy na początku zdania proste \(p\) i \(q\) potem ich zaprzeczenia a następnie coraz bardziej złożone zdania aż dojdziemy do całego zdania logicznego.
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
W pierwszej i drugiej kolumnie wypisujemy wszystkie możliwe wartości zdań prostych (1 to zdanie prawdziwe, 0 to zdanie fałszywe).
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\)
\(0\) \(1\)
\(1\) \(0\)
\(1\) \(1\)
W trzeciej i czwartej kolumnie wypisujemy zaprzeczenia zdań \(p\) i \(q\)
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(0\)
\(1\) \(0\) \(0\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(0\)
Następnie koniunkcja zdań \(p\) i \(q\).
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(0\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(0\)
\(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\)
Potem zaprzeczenie koniunkcji czyli \(\sim (p\wedge q)\)
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(1\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\)
\(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\)
w siódmej kolumnie wyznaczamy wartość logiczną alternatywy zaprzeczeń zdań \(p\) i \(q\)
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(0\)
Na końcu wyznaczamy wartość logiczną całego zdania.
\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \((p\wedge q)\) \(\sim (p\wedge q)\) \((\sim p\,\,\vee \sim q)\) \(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(1\) \(1\) \(1\)
\(0\) \(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\) \(1\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\) \(0\) \(0\) \(1\)
Odpowiedź

W ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, zatem nasze zdanie jest tautologią


← wstecz Zadanie nr 2 ←