Definicja (Negacja)
Negacją (zaprzeczeniem) nazywamy zdanie postaci: nieprawda, że \(p\) lub krótko: nie \(p\).
Negację zapisujemy najczęściej symbolem \(\neg\) (rzadziej \(\sim\)).
NEGACJA
Zapis symboliczny negacji zdania \(p\) to: \(\neg p\).
Negacja zmienia wartość logiczną zdania na przeciwną.
Logiczną wartość negacji w zależności od wartości logicznej zdania \(p\) ilustruje tabela:
| \(p\) | \(\neg p\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Przykład 1.
Niech \(p\) oznacza zdanie: 4 jest liczbą parzystą. Zdanie \(p\) jest prawdziwe, czyli \((p=1)\).
Zatem \(\neg p\) oznacza zdanie: nieprawda, że 4 jest liczbą parzystą (czyli po prostu: 4 nie jest liczbą parzystą). Zdanie \(\neg p\) jest fałszywe, czyli \((\neg p=0)\).
Przykład 2.
Niech \(p\) oznacza zdanie: 7 jest liczbą parzystą. Zdanie \(p\) jest fałszywe, czyli \((p=0)\).
Zatem \(\neg p\) oznacza zdanie: nieprawda, że 7 jest liczbą parzystą (czyli po prostu: 7 nie jest liczbą parzystą). Zdanie \(\neg p\) jest prawdziwe, czyli \((\neg p=1)\).
Dwa zdania \(p\) oraz \(\neg p\) nazywamy zdaniami sprzecznymi.
Poniżej wypisane są fundamentalne prawa negacji. Więcej o tego typu prawach przeczytasz na następnej stronie w dziale: Tautologia.
Prawo wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych \(p\) oraz \(\neg p\) co najmniej jedno jest prawdziwe. Nie istnieje żadna trzecia możliwość.
\(p \vee \neg p\)
Alternatywa dwóch zdań sprzecznych jest zawsze prawdziwa.
Cytat "Tertium non datur" umieszczony u góry odnosi się właśnie do tej tautologii.
Prawo sprzeczności mówi, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe (czyli co najmniej jedno z nich musi być fałszywe).
\(\neg (p \wedge \neg p)\)
Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań sprzecznych jest zawsze prawdziwe.
Prawo podwójnego zaprzeczenia mówi, że zdania \(p\) oraz \(\neg (\neg p)\) mają dokładnie tę samą wartość logiczną (zaprzeczenie negacji wraca do zdania wyjściowego).
\(p \Leftrightarrow \neg (\neg p)\)
Równoważność zdań \(p\) oraz \(\neg (\neg p)\) jest zawsze prawdziwa.