TAUTOLOGIA

Za pomocą symboli zdań logicznych \(p,\,q,\,r,...\) i funktorów zdaniotwórczych \( \wedge\,\,\,\vee\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\sim \) oraz nawiasów ( ), [ ], { } tworzymy schematy logiczne.

Przykłady

\(p\Rightarrow [(\sim p)\vee q]\)

\([(p\vee q)\wedge (p\Rightarrow q)]\Rightarrow (q\Rightarrow p)\)

Może się zdarzyć, że niektóre ze schematów są schematami zawsze prawdziwymi, niezależnie od wartości logicznych zdań prostych, z których te schematy zostały zbudowane.

Definicja (Tautologia)

Tautologią nazywamy schemat logiczny (zdania złożone), które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań, występujących w tym schemacie.

Tautologia inna nazwa to prawo rachunku zdań lub prawo logiczne.

W logice funkcjonuje bardzo dużo tautologii, z których korzystamy w dowodzeniu w matematyce.
Poniżej kilka z najważniejszych praw logicznych :

Prawa negacji
\(p\;\; \vee \sim p\)	Prawo wyłączonego środka
\(\sim (p\;\; \wedge \sim p)\)	Prawo sprzeczności
\(p\Leftrightarrow\; \sim (\sim p)\)	Prawo podwójnego zaprzeczenia

Prawa idempotentności
\( (p\wedge p) \Leftrightarrow p\)	Prawo idempotentności dla koniunkcji
\( (p\vee p) \Leftrightarrow p\)	Prawo idempotentności dla alternatywy

Prawa przemienności
\( (p\wedge q) \Leftrightarrow ( q\wedge p)\)	Prawo przemienności dla koniunkcji
\( (p\vee q) \Leftrightarrow ( q\vee p)\)	Prawo przemienności dla alternatywy

Prawa łączności
\(((p\wedge q)\wedge r)\Leftrightarrow (p\wedge (q\wedge r))\)	Prawo łączności dla koniunkcji
\(((p\vee q)\vee r)\Leftrightarrow (p\vee (q\vee r))\)	Prawo łączności dla alternatywy

Prawa rozdzielności
Koniunkcji względem alternatywy
\([p\wedge (q\vee r)]\Leftrightarrow [(p\wedge q)\vee (p\wedge r)]\)
Alternatywy względem koniunkcji
\([p\vee (q\wedge r)]\Leftrightarrow [(p\vee q)\wedge (p\vee r)]\)

Prawa de Morgana
\(\sim (p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\vee \sim q)\)	Prawo zaprzeczenia koniunkcji
\(\sim (p\vee q) \Leftrightarrow (\sim p\,\,\wedge \sim q)\)	Prawo zaprzeczenia alternatywy

Prawa z implikacją
1) Prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)
\((p\Rightarrow p)\)
2) Prawo eliminacji implikacji
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim p\,\vee q)\)
3) Prawo zaprzeczenia implikacji
\(\sim(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow \, ( p\,\vee \sim q)\)
4) Prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)
\([(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow r)\)
5) Prawa transpozycji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego)
\((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\sim q\Rightarrow \sim p)\)
6) Prawo odrywania „modus ponens” (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe)
\([(p\Rightarrow q)\wedge p]\Rightarrow q\)
7) Prawo Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest ono prawdziwe)
\( (\sim p\Rightarrow\ p) \Rightarrow p\)
8) Prawo Dunsa Szkota „z fałszu wynika wszystko (czyli w logice klasycznej fałszywa przesłanka może prowadzić do dowolnego wniosku)”
\( \sim p\Rightarrow(p \Rightarrow q) \)
9) Prawo symplifikacji (prawo upraszczania)
\( p\Rightarrow(q\Rightarrow\ p) \)
10) Prawa redukcji do absurdu
\((p\Rightarrow \sim p) \Rightarrow \sim p \) oraz \([(p\Rightarrow q)\wedge(p\Rightarrow \sim q)]\Rightarrow \sim p \)
11) Prawa pochłaniania
\(p\Rightarrow(p \vee p)\) oraz \((p\wedge q)\Rightarrow p \)

Na następnej stronie omówiona jest metoda zero-jedynkowa dowodzenia tautologi.