ZBIORY SPEŁNIENIA - ZADANIA
Zadanie 1
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających formę zdaniową połączoną implikacją: \( |2x-1| > 3 \Rightarrow x > 0 \).
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy zbiory liczb spełniających pojedyncze warunki implikacji. Rozwiązujemy pierwszą nierówność (poprzednik implikacji):
\( |2x-1| > 3 \)
Rozbijamy nierówność z wartością bezwzględną na alternatywę dwóch warunków:
\( 2x - 1 > 3 \quad \lor \quad 2x - 1 \lt -3 \)
\( 2x > 4 \quad \lor \quad 2x \lt -2 \)
\( x > 2 \quad \lor \quad x \lt -1 \)
Zatem poprzednik implikacji jest prawdziwy dla \( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \).
Drugi warunek (następnik implikacji) jest już gotowy i prawdziwy dla:
\( x > 0 \), czyli dla \( x \in (0, +\infty) \)
Szukamy liczb, dla których implikacja jest FAŁSZYWA. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz (\( 1 \Rightarrow 0 \)). Oznacza to, że pierwszy warunek musi być spełniony, a drugi NIE (czyli \( x \le 0 \)):
\( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \quad \text{oraz} \quad x \le 0 \)
Wyznaczamy część wspólną tych dwóch warunków.
\( x \in (-\infty, -1) \)
Formułujemy wniosek: Nasza implikacja okazała się fałszywa wyłącznie dla liczb z przedziału \( (-\infty, -1) \). Dla wszystkich pozostałych liczb rzeczywistych jest prawdziwa. Od całego zbioru liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \) odejmujemy wyznaczony przedział "fałszu":
\( \mathbb{R} \setminus (-\infty, -1) = \langle -1, +\infty) \)
Odpowiedź
Zbiorem liczb spełniających podaną formę zdaniową z implikacją jest przedział \( x \in \langle -1, +\infty) \).
