ZBIORY SPEŁNIENIA - ZADANIA
Zadanie 2
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających formę zdaniową połączoną równoważnością: \( |x - 2| \le 3 \Leftrightarrow x \ge 0 \).
Rozwiązanie
Równoważność \( p \Leftrightarrow q \) jest prawdziwa w dwóch przypadkach: gdy oba zdania są jednocześnie prawdziwe (sytuacja \( 1 \Leftrightarrow 1 \)) lub gdy oba są jednocześnie fałszywe (sytuacja \( 0 \Leftrightarrow 0 \)). Najpierw rozwiążemy pierwszą nierówność, aby wiedzieć, kiedy lewa strona jest prawdziwa:
\( |x - 2| \le 3 \)
Rozpisujemy nierówność z wartością bezwzględną na koniunkcję warunków:
\( x - 2 \le 3 \quad \land \quad x - 2 \ge -3 \)
\( x \le 5 \quad \land \quad x \ge -1 \)
Zatem lewa strona (\( p \)) jest prawdziwa dla \( x \in \langle -1, 5 \rangle \), a fałszywa dla pozostałych liczb, czyli \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \).
Teraz określamy, kiedy prawa strona (\( q \)), czyli warunek \( x \ge 0 \), jest prawdziwa, a kiedy fałszywa:
Warunek \( q \) jest prawdziwy dla \( x \in \langle 0, +\infty) \)
Warunek \( q \) jest fałszywy dla \( x \in (-\infty, 0) \)
Rozważamy Przypadek 1: Oba zdania są PRAWDZIWE (\( 1 \Leftrightarrow 1 \)). Szukamy części wspólnej przedziałów, w których oba warunki zachodzą:
\( x \in \langle -1, 5 \rangle \quad \land \quad x \in \langle 0, +\infty) \)
Część wspólna to przedział:
\( X_1 = \langle 0, 5 \rangle \)
Rozważamy Przypadek 2: Oba zdania są FAŁSZYWE (\( 0 \Leftrightarrow 0 \)). Szukamy części wspólnej przedziałów, w których oba warunki NIE są spełnione:
\( x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \quad \land \quad x \in (-\infty, 0) \)
Część wspólna tych dwóch obszarów "fałszu" to przedział:
\( X_2 = (-\infty, -1) \)
Formułujemy wniosek: Równoważność zachodzi, gdy spełniony jest pierwszy LUB drugi przypadek. Łączymy (sumujemy) oba wyznaczone zbiory rozwiązań:
\( X = X_1 \cup X_2 = (-\infty, -1) \cup \langle 0, 5 \rangle \)
Odpowiedź
Zbiorem liczb spełniających podaną równoważność form zdaniowych jest \( x \in (-\infty, -1) \cup \langle 0, 5 \rangle \).
