ZBIORY SPEŁNIENIA - ZADANIA
Zadanie 4
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających formę zdaniową połączoną koniunkcją: \( x^2 - 4 > 0 \land |x - 1| \le 2 \).
Rozwiązanie
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione jednocześnie (\( 1 \land 1 \)). Musimy zatem wyznaczyć rozwiązania obu nierówności osobno, a na koniec wyznaczyć ich część wspólną. Rozpoczynamy od pierwszej nierówności (kwadratowej):
\( x^2 - 4 > 0 \)
Rozkładamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia na czynniki, aby znaleźć miejsca zerowe:
\( (x - 2)(x + 2) > 0 \)
\( x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \)
Szkicujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry. Odczytujemy wartości dodatnie:
\( x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Teraz rozwiązujemy drugą nierówność z wartością bezwzględną:
\( |x - 1| \le 2 \)
Rozbijamy ją na koniunkcję dwóch warunków:
\( x - 1 \le 2 \quad \land \quad x - 1 \ge -2 \)
\( x \le 3 \quad \land \quad x \ge -1 \)
Zbiorem rozwiązań drugiej nierówności jest przedział:
\( x \in \langle -1, 3 \rangle \)
Ponieważ formy zdaniowe połączone są koniunkcją, szukamy liczb, które spełniają oba te warunki na raz (wyznaczamy część wspólną uzyskanych przedziałów):
\( x \in \bigl( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \bigr) \quad \land \quad x \in \langle -1, 3 \rangle \)
Nakładając oba przedziały na oś liczbową, widzimy, że zazębiają się one jedynie w prawej części osi:
\( X = (2, 3 \rangle \)
Odpowiedź
Zbiorem liczb spełniających podaną koniunkcję form zdaniowych jest przedział \( x \in (2, 3 \rangle \).
