ZBIORY SPEŁNIENIA - ZADANIA
Zadanie 3
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających formę zdaniową połączoną alternatywą: \( |x + 1| \ge 2 \lor x > 3 \).
Rozwiązanie
Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania są jednocześnie fałszywe (\( 0 \lor 0 \)). W każdym innym przypadku jest prawdziwa. Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań, najwygodniej będzie znaleźć liczby, które NIE spełniają tej alternatywy (dają fałsz), a potem odrzucić je od całego zbioru liczb rzeczywistych. Szukamy więc sytuacji, gdzie lewa strona jest fałszywa ORAZ prawa strona jest fałszywa.
Zaprzeczamy pierwszemu warunkowi \( |x + 1| \ge 2\) czyli:
\( |x + 1| \lt 2 \)
Rozwiązujemy tę nierówność, rozbijając ją na koniunkcję:
\( x + 1 \lt 2 \quad \land \quad x + 1> -2 \)
\( x \lt 1 \quad \land \quad x> -3 \)
Zatem lewa strona alternatywy jest fałszywa dla przedziału: \( x \in (-3, 1) \).
Teraz szukamy przedziału, w którym prawa strona (\( x > 3 \)) jest fałszywa.
Zaprzeczeniem tego warunku jest:
\( x \le 3 \), czyli przedział \( x \in (-\infty, 3 \rangle \)
Łączymy oba warunki "fałszu". Szukamy części wspólnej obszarów, w których obie formy zdaniowe nie są spełnione:
\( x \in (-3, 1) \quad \land \quad x \in (-\infty, 3 \rangle \)
Częścią wspólną tych przedziałów jest zbiór:
\( X_{\text{fałsz}} = (-3, 1) \)
Formułujemy wniosek: Skoro nasza alternatywa jest fałszywa dla liczb z przedziału \( (-3, 1) \), to dla wszystkich pozostałych liczb na osi jest prawdziwa. Odejmujemy ten przedział od zbioru liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \):
\( \mathbb{R} \setminus (-3, 1) = (-\infty, -3 \rangle \cup \langle 1, +\infty) \)
Odpowiedź
Zbiorem liczb spełniających podaną alternatywę form zdaniowych jest \( x \in (-\infty, -3 \rangle \cup \langle 1, +\infty) \).
