PRACA - ZADANIA
Zadanie 9 (Siła zachowawcza i niezależność od drogi)
Oblicz pracę siły \(\vec{F} = [y, x] \, [N]\) przy przemieszczeniu od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(1, 1)\) dwiema różnymi drogami:
1) Wzdłuż odcinka linii prostej \(y = x\).
2) Wzdłuż paraboli \(y = x^2\).
Droga I: Odcinek prostej \(y = x\)
Krok 1: Parametryzacja odcinka (\(x=t, y=t\)) dla \(t \in [0, 1]\):\(x(t) = t, \quad y(t) = t\)
\(dx = 1dt, \quad dy = 1dt\)
Krok 2: Podstawienie do wzoru na pracę \(W = \int (F_x dx + F_y dy)\):
\(F_x = y = t, \quad F_y = x = t\)
\(W_1 = \int_{0}^{1} (t \cdot 1 + t \cdot 1) dt = \int_{0}^{1} 2t \, dt\)
\(W_1 = [t^2]_0^1 = 1 - 0 = 1 \, [J]\)
Droga II: Parabola \(y = x^2\)
Krok 1: Parametryzacja paraboli (\(x=t, y=t^2\)) dla \(t \in [0, 1]\):\(x(t) = t, \quad y(t) = t^2\)
\(dx = 1dt, \quad dy = 2tdt\)
Krok 2: Podstawienie do wzoru na pracę:
\(F_x = y = t^2, \quad F_y = x = t\)
\(W_2 = \int_{0}^{1} (t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t) dt = \int_{0}^{1} (t^2 + 2t^2) dt = \int_{0}^{1} 3t^2 dt\)
\(W_2 = [t^3]_0^1 = 1 - 0 = 1 \, [J]\)
Wniosek
Otrzymaliśmy identyczny wynik \(W_1 = W_2 = 1 \, [J]\). Potwierdza to, że siła \(\vec{F} = [y, x]\) jest zachowawcza – wykonana praca zależy tylko od punktu początkowego i końcowego, a nie od kształtu wybranej drogi.
Sprawdzenie warunku zachowawczości
Dla siły \(\vec{F} = [F_x, F_y] = [y, x]\) obliczamy pochodne cząstkowe:
\[\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (y)}{\partial y} = 1\]
\[\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (x)}{\partial x} = 1\]
Ponieważ \(1 = 1\), warunek \(\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}\) jest spełniony.