1. Siła stała i ruch prostoliniowy
W najprostszym przypadku, gdy siła działa zgodnie z kierunkiem ruchu:
\[W = F \cdot s\]Gdy siła jest nachylona do toru ruchu pod kątem \(\alpha\):
\[W = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)\]PRACA
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J), gdzie \(1J = 1N \cdot 1m\).
2. Iloczyn skalarny wektorów
W ujęciu analitycznym pracę definiujemy jako iloczyn skalarny wektora siły \(\vec{F}\) i wektora przesunięcia \(\vec{s}\):
\[W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F_x \cdot s_x + F_y \cdot s_y\]Przykład 1
Ciało przemieściło się o wektor \(\vec{s} = [5, 0] \, [m]\) pod wpływem siły \(\vec{F} = [10, 2] \, [N]\):
\[W = 10 \cdot 5 + 2 \cdot 0 = 50 + 0 = 50 \, [J]\]
Dla studentów
Definicja (Siła zmienna - ruch jednowymiarowy 1D)
Jeżeli wartość siły \(F(x)\) zmienia się wraz z położeniem ciała na osi \(OX\), pracę na odcinku od \(x_1\) do \(x_2\) obliczamy jako całkę oznaczoną: \[W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx\]
Przykład 2
Oblicz pracę siły sprężystości \(F(x) = kx\) przy rozciąganiu sprężyny od \(0\) do \(L\):
\[W = \int_{0}^{L} kx \, dx = \left[ \frac{1}{2}kx^2 \right]_0^L = \frac{1}{2}kL^2\]
Interpretacja geometryczna pracy
W przypadku ruchu jednowymiarowego wzdłuż osi \(OX\), pracę interpretujemy jako pole pod wykresem funkcji siły \(F(x)\) w przedziale od \(x_1\) do \(x_2\).
Definicja (Ruch na płaszczyźnie - Całka krzywoliniowa)
W najogólniejszym przypadku, gdy siła \(\vec{F}\) i tor ruchu \(C\) są dowolne, praca jest całką krzywoliniową skierowaną: \[W = \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{C} (F_x dx + F_y dy)\]
Twierdzenie (O zamianie na całkę oznaczoną)
Jeżeli tor ruchu \(C\) jest sparametryzowany jako \(\vec{r}(t) = (x(t), y(t))\) dla \(t \in [t_1, t_2]\), to pracę obliczamy wzorem: \[W = \int_{t_1}^{t_2} \left( F_x(x(t), y(t)) \cdot x'(t) + F_y(x(t), y(t)) \cdot y'(t) \right) dt\]
Przykład 3
Siła \(\vec{F} = [y, x]\) działa na drodze sparametryzowanej jako \(x=t, y=t^2\) dla \(t \in [0, 1]\). Wtedy \(dx=1dt, dy=2tdt\):
\[W = \int_{0}^{1} (t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t) dt = \int_{0}^{1} 3t^2 dt = [t^3]_0^1 = 1\,J\]
Uwaga: Siły zachowawcze
Warto sprawdzić warunek zachowawczości: jeśli \(\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}\), to siła jest zachowawcza, co oznacza, że praca nie zależy od kształtu drogi \(C\), a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego.
PRACA - ZADANIA
Zadanie 1
Siła o wartości \(F = 10\,[N]\) jest nachylona do toru ruchu pod kątem \(\alpha = 60^\circ\). Oblicz pracę wykonaną przez tę siłę na drodze \(s = 5\,[m]\), stosując dwa różne podejścia obliczeniowe.Zadanie 2
Chłopiec ciągnie sanki o masie \(m = 5\,[kg]\) ze stałą prędkością po poziomej powierzchni na drodze \(s = 9\,[m]\). Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi \(\mu = 0,2\), a sznurek tworzy kąt \(\alpha = 45^\circ\) z poziomem. Jaką pracę wykona chłopiec?Zadanie 3
Blok lodu waży \(m = 50\,[kg]\) i ześlizguje się po równi pochyłej o długości \(L = 1,5\,[m]\) i wysokości \(h = 0,9\,[m]\). Współczynnik tarcia wynosi \(\mu = 0,1\). Mężczyzna pcha lód siłą równoległą do równi tak, że prędkość ześlizgiwania jest stała.Oblicz: a) Siłę wywierana przez mężczyznę, b) Pracę mężczyzny, c) Pracę siły grawitacji, d) Pracę siły reakcji powierzchni, e) Pracę siły tarcia, f) Pracę wypadkowa, g) Zmianę energii kinetycznej.
Zadanie 4
Punkt materialny przesuwa się wzdłuż osi \(OX\) od punktu \(x_1 = 1\,[m]\) do punktu \(x_2 = 3\,[m]\). Działa na niego siła zmienna o wartości opisanej funkcją \(F(x) = 3x^2 + 2x\) \([N]\). Oblicz pracę wykonaną przez tę siłę.Zadanie 5
Oblicz pracę wykonaną przez siłę stałą \(\vec{F} = [5, 0] \, [N]\) przy przesunięciu punktu materialnego wzdłuż osi \(OX\) od punktu \(x_0 = 0 \, [m]\) do punktu \(x = 5 \, [m]\). Wykorzystaj aparat całki krzywoliniowej.Zadanie 6
Oblicz pracę siły \(\vec{F} = [5, 0] \, [N]\) na drodze od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(5, 0)\), stosując wektorową parametryzację odcinka.Zadanie 7
Oblicz pracę wykonaną przez siłę zmienną \(\vec{F} = [2x, \,\, y] \, [N]\) przy przemieszczeniu punktu materialnego po odcinku od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(2, 2)\). Do parametryzacji drogi wykorzystaj "bezpieczny wzór wektorowy".Zadanie 8
Oblicz pracę wykonaną przez siłę \(\vec{F} = [y, 2]\) przy przesunięciu punktu materialnego od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(2, 4)\) wzdłuż paraboli o równaniu \(y = x^2\).Zadanie 9 (Ruch po okręgu)
Punkt porusza się po ćwiartce okręgu o promieniu \(R = 2 \, [m]\) od punktu \(A(2, 0)\) do punktu \(B(0, 2)\). Na punkt działa siła \(\vec{F} = [-y, \,\, x] \, [N]\). Oblicz wykonaną pracę.Zadanie 10 (Siła zachowawcza i niezależność od drogi)
Oblicz pracę siły \(\vec{F} = [y, x] \, [N]\) przy przemieszczeniu od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(1, 1)\) dwiema różnymi drogami:
1) Wzdłuż odcinka linii prostej \(y = x\).
2) Wzdłuż paraboli \(y = x^2\).