PRACA - ZADANIA
Zadanie 9 (Ruch po okręgu)
Punkt porusza się po ćwiartce okręgu o promieniu \(R = 2 \, [m]\) od punktu \(A(2, 0)\) do punktu \(B(0, 2)\). Na punkt działa siła \(\vec{F} = [-y, \,\, x] \, [N]\). Oblicz wykonaną pracę.
Rozwiązanie
Krok 1: Korzystamy z parametryzacji łuku okręgu o promieniu \(R\):\(x(t) = R\cos(t), \quad y(t) = R\sin(t)\)
Podstawiamy \(R=2\) i wyznaczamy zakres kąta \(t\) (od \(0\) do \(90^\circ\)):
\(x(t) = 2\cos(t)\)
\(y(t) = 2\sin(t)\)
\(t \in [0, \,\, \frac{\pi}{2}]\)
Krok 2: Obliczamy różniczki (pochodne funkcji trygonometrycznych):
\(dx = -2\sin(t)dt\)
\(dy = 2\cos(t)dt\)
\(dx = -2\sin(t)dt\)
\(dy = 2\cos(t)dt\)
Krok 3: Podstawiamy parametryzację do wzoru siły \(\vec{F} = [-y, \,\, x]\):
\(F_x = -y = -2\sin(t)\)
\(F_y = x = 2\cos(t)\)
\(F_x = -y = -2\sin(t)\)
\(F_y = x = 2\cos(t)\)
Krok 4: Stosujemy wzór operacyjny na pracę w formie całki oznaczonej:
\(W = \int_{t_1}^{t_2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy wszystkie wyliczone elementy:
\(W = \int_{0}^{\pi/2} [(-2\sin(t)) \cdot (-2\sin(t)) + (2\cos(t)) \cdot (2\cos(t))] dt\)
\(W = \int_{0}^{\pi/2} (4\sin^2(t) + 4\cos^2(t)) dt\)
\(W = \int_{t_1}^{t_2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy wszystkie wyliczone elementy:
\(W = \int_{0}^{\pi/2} [(-2\sin(t)) \cdot (-2\sin(t)) + (2\cos(t)) \cdot (2\cos(t))] dt\)
\(W = \int_{0}^{\pi/2} (4\sin^2(t) + 4\cos^2(t)) dt\)
Krok 5: Korzystamy z jedynki trygonometrycznej (\(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\)) i obliczamy całkę:
\(W = \int_{0}^{\pi/2} 4 \, dt = [4t]_0^{\pi/2}\)
\(W = 4 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = 2\pi \, [J]\)
\(W = \int_{0}^{\pi/2} 4 \, dt = [4t]_0^{\pi/2}\)
\(W = 4 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = 2\pi \, [J]\)
Odpowiedź
Praca wykonana przy ruchu po łuku wynosi \(W = 2\pi \approx 6,28 \, [J]\).