RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY - ZADANIA

Zadanie 1

Rowerzysta porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż prostej drogi z prędkością \(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\). W chwili początkowej znajduje się on w odległości \(\displaystyle d = 200\, \text{m}\) przed motocyklistą, który zaczyna ruch w tym samym kierunku z prędkością \(\displaystyle v_2 = 25\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Przyjmując położenie startowe motocyklisty jako początek układu odniesienia:

a) Napisz równania ruchu obu ciał.
b) Oblicz, po jakim czasie motocyklista dogoni rowerzystę.
c) Wyznacz, w jakiej odległości od początku układu odniesienia nastąpi spotkanie.

Dane i stałe

\(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość rowerzysty
\(\displaystyle v_2 = 25\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość motocyklisty
\(\displaystyle d = 200\, \text{m}\) - początkowa odległość rowerzysty od motocyklisty
\(\displaystyle x_{01} = d = 200\, \text{m}\) - położenie początkowe rowerzysty
\(\displaystyle x_{02} = 0\, \text{m}\) - położenie początkowe motocyklisty

Szukane

\(\displaystyle x_1(t), x_2(t)\) - równania ruchu ciał
\(\displaystyle t_s\) - czas spotkania ciał
\(\displaystyle x_s\) - położenie (odległość od początku układu) w chwili spotkania

Równania ruchu

Wybieramy układ odniesienia związany z nieruchomym obserwatorem stojącym na starcie motocyklisty (punkt \(\displaystyle x = 0\)).
Ruch każdego z ciał możemy opisać prostym równaniem drogi(położenia) od czasu: \(\displaystyle x = x_0 + v \cdot t\).

1. Rowerzysta:
Startuje z punktu oddalonego o (\(\displaystyle x_{02}= 200\,\text{m}\)) od początku układu odniesienia, więc jego położenie w dowolnej sekundzie opisuje równanie:

\[ \displaystyle x(t) = 200 + 5t \]

2. Motocyklista:
Startuje z samego początku układu (\(\displaystyle x_{02}= 0\,\text{m}\)), więc jego położenie opisuje proste równanie:

\[ \displaystyle x = 25t \]

Spotkanie pojazdów:
W momencie spotkania oba pojazdy znajdą się w tym samym miejscu (\(\displaystyle x\)) i w tym samym czasie (\(\displaystyle t\)). Aby znaleźć te wartości, łączymy oba wzory w matematyczny układ równań:

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = 200 + 5t & \text{(równanie ruchu rowerzysty)} \\ x = 25t & \text{(równanie ruchu motocyklisty)} \end{array} \right. \] \[ \displaystyle 25t = 200 + 5t \] \[ \displaystyle 25t - 5t = 200 \] \[ \displaystyle 20t = 200 \] \[ \displaystyle t = \frac{200}{20} = 10\,\text{s} \]

Teraz obliczony czas \(\displaystyle t = 10\,\text{s}\) podstawiamy do dowolnego równania, aby obliczyć miejsce spotkania \(\displaystyle x\):

\[ \displaystyle x = 25 \cdot 10 = 250\,\text{m} \]

Wykres ruchu ciał

Poniższy wykres przedstawia zależność położenia (\(\displaystyle x\)) od czasu (\(\displaystyle t\)) dla obu pojazdów. Punkt przecięcia linii to moment i miejsce ich spotkania.

wykresy równań ruchu motocyklisty i rowerzysty

Odpowiedź

a) Równania ruchu pojazdów to: \(\displaystyle x_1(t) = 200 + 5t\) oraz \(\displaystyle x_2(t) = 25t\).
b) Motocyklista dogoni rowerzystę po czasie \(\displaystyle t = 10\,\text{s}\).
c) Spotkanie nastąpi w odległości \(\displaystyle x = 250\,\text{m}\) od punktu startu motocyklisty.