RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY - ZADANIA

Zadanie 2

Rowerzysta startuje z punktu \(\displaystyle A\) i porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością \(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) w stronę punktu \(\displaystyle B\), który jest oddalony o \(\displaystyle d = 900\, \text{m}\). Dokładnie \(\displaystyle t_0 = 20\, \text{s}\) po starcie rowerzysty, z punktu \(\displaystyle B\) w stronę punktu \(\displaystyle A\) wyrusza biegacz z prędkością \(\displaystyle v_2 = 3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Przyjmując położenie startowe rowerzysty (punkt \(\displaystyle A\)) jako początek układu odniesienia:

a) Napisz równania ruchu obu ciał.
b) Oblicz, po jakim czasie od momentu startu rowerzysty ciała się spotkają.
c) Wyznacz, w jakiej odległości od punktu startu rowerzysty nastąpi to spotkanie.

Dane i stałe

\(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość rowerzysty
\(\displaystyle v_2 = 3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość biegacza
\(\displaystyle d = 900\, \text{m}\) - odległość między punktami startu \(\displaystyle A\) i \(\displaystyle B\)
\(\displaystyle t_0 = 20\, \text{s}\) - opóźnienie startu biegacza względem rowerzysty
\(\displaystyle x_{01} = 0\, \text{m}\) - położenie początkowe rowerzysty (punkt \(\displaystyle A\))
\(\displaystyle x_{02} = d = 900\, \text{m}\) - położenie początkowe biegacza (punkt \(\displaystyle B\))

Szukane

\(\displaystyle x_1(t), x_2(t)\) - równania ruchu ciał
\(\displaystyle t\) - czas od startu rowerzysty do momentu spotkania
\(\displaystyle x\) - odległość punktu spotkania od startu rowerzysty (początku układu)

Równania ruchu

Wybieramy układ odniesienia, w którym początek osi współrzędnych (\(\displaystyle x = 0\)) znajduje się w punkcie startu rowerzysty (\(\displaystyle A\)). Oś \(\displaystyle x\) jest skierowana w stronę punktu \(\displaystyle B\).
Ogólny wzór na położenie w ruchu jednostajnym to: \(\displaystyle x = x_0 + v \cdot t\).

1. Rowerzysta:
Startuje w chwili \(\displaystyle t = 0\) z początku układu odniesienia (\(\displaystyle x_{01} = 0\,\text{m}\)) i porusza się zgodnie ze zwrotem osi \(\displaystyle x\). Jego położenie opisuje proste równanie:

\[ \displaystyle x = 5t \]

2. Biegacz:
Biegacz znajduje się początkowo w punkcie \(\displaystyle B\) (\(\displaystyle x_{02} = 900\,\text{m}\)). Ponieważ biegnie w stronę przeciwną do zwrotu osi (zbliża się do punktu \(\displaystyle A\)), jego prędkość w naszym układzie ma znak minus (\(\displaystyle -3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Dodatkowo jego ruch zaczyna się o \(\displaystyle 20\,\text{s}\) później, więc czas jego ruchu to \(\displaystyle (t - 20)\):

\[ \displaystyle x = 900 - 3(t - 20) \]

Po uporządkowaniu i wymnożeniu nawiasu otrzymujemy:

\[ \displaystyle x = 900 - 3t + 60 \] \[ \displaystyle x = 960 - 3t \quad (\text{dla } t \ge 20\,\text{s}) \]

Spotkanie ciał:
W momencie spotkania oba ciała będą miały dokładnie taką samą współrzędną położenia \(\displaystyle x\) w tym samym czasie \(\displaystyle t\). Zapisujemy układ równań i rozwiązujemy go metodą podstawiania:

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = 5t & \text{(równanie ruchu rowerzysty)} \\ x = 960 - 3t & \text{(równanie ruchu biegacza)} \end{array} \right. \]

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego:

\[ \displaystyle 5t = 960 - 3t \] \[ \displaystyle 5t + 3t = 960 \] \[ \displaystyle 8t = 960 \] \[ \displaystyle t = \frac{960}{8} = 120\,\text{s} \]

Otrzymany czas \(\displaystyle t = 120\,\text{s}\) (czyli dokładnie \(\displaystyle 2\,\text{minuty}\)) podstawiamy do równania ruchu rowerzysty, aby wyznaczyć miejsce spotkania \(\displaystyle x\):

\[ \displaystyle x = 5 \cdot 120 = 600\,\text{m} \]

Wykres ruchu ciał

Poniższy wykres przedstawia zależność położenia (\(\displaystyle x\)) od czasu (\(\displaystyle t\)) dla obu ciał. Linia biegacza zaczyna się dopiero od \(\displaystyle 20.\) sekundy. Punkt przecięcia linii wskazuje moment i miejsce spotkania.

wykresy równań ruchu motocyklisty i rowerzysty

Odpowiedź

a) Równania ruchu ciał to: \(\displaystyle x_1(t) = 5t\) (dla \(\displaystyle t \ge 0\)) oraz \(\displaystyle x_2(t) = 960 - 3t\) (dla \(\displaystyle t \ge 20\,\text{s}\)).
b) Ciała spotkają się po czasie \(\displaystyle t = 120\,\text{s}\) (czyli po \(\displaystyle 2\) minutach) od startu rowerzysty.
c) Spotkanie nastąpi w odległości \(\displaystyle x = 600\,\text{m}\) od punktu startu rowerzysty.