RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY - ZADANIA

Zadanie 4

Rowerzysta wyrusza w trasę z punktu położonego \(\displaystyle 100\, \text{m}\) za skrzyżowaniem dróg (które przyjmujemy jako punkt \(\displaystyle x = 0\)) i porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku dodatnim osi z prędkością \(\displaystyle v_1 = 10\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Po \(\displaystyle 20\, \text{s}\) jazdy rowerzysta zatrzymuje się na \(\displaystyle 10\, \text{s}\) odpoczynku, po czym kontynuuje podróż z tą samą prędkością.

Dokładnie \(\displaystyle t_0 = 10\, \text{s}\) po starcie rowerzysty, z punktu leżącego \(\displaystyle 500\, \text{m}\) przed skrzyżowaniem wyrusza biegacz, biegnąc w stronę skrzyżowania (kierunek ujemny osi) ze stałą prędkością \(\displaystyle v_2 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) Zapisz równania ruchu rowerzysty i biegacza.
b) Oblicz, po jakim czasie od momentu startu rowerzysty ciała się spotkają.
c) Wyznacz współrzędną położenia punktu spotkania.

Dane i stałe

\(\displaystyle v_1 = 10\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość rowerzysty podczas jazdy
\(\displaystyle v_2 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość biegacza
\(\displaystyle x_{01} = -100\, \text{m}\) - położenie początkowe rowerzysty
\(\displaystyle x_{02} = 500\, \text{m}\) - położenie początkowe biegacza
\(\displaystyle t_0 = 10\, \text{s}\) - opóźnienie startu biegacza względem rowerzysty

Szukane

\(\displaystyle x_1(t), x_2(t)\) - równania ruchu ciał
\(\displaystyle t\) - czas od startu rowerzysty do momentu spotkania
\(\displaystyle x\) - współrzędna położenia punktu spotkania

Równania ruchu obu ciał

Jako początek układu odniesienia (\(\displaystyle x = 0\)) przyjmujemy skrzyżowanie dróg. Zwrot osi \(\displaystyle x\) jest zgodny z kierunkiem ruchu rowerzysty.

1. Biegacz:
Zaczyna ruch w \(\displaystyle 10.\) sekundzie z punktu \(\displaystyle x = 500\,\text{m}\). Biegnie przeciwnie do zwrotu osi (zbliża się do zera), stąd ujemna prędkość:

\[ \displaystyle x = 500 - 5(t - 10) \] \[ \displaystyle x = 500 - 5t + 50 \] \[ \displaystyle x = 550 - 5t \quad (\text{dla } t \ge 10\,\text{s}) \]

2. Rowerzysta (ruch trzyetapowy):
Musimy podzielić czas na trzy przedziały ze względu na przerwę w ruchu:

Etap I (\(\displaystyle 0 \le t \lt 20\,\text{s}\)): Rowerzysta startuje z punktu \(\displaystyle x = -100\,\text{m}\) z prędkością \(\displaystyle 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\): \[ \displaystyle x = -100 + 10t \] Na koniec tego etapu (w \(\displaystyle t = 20\,\text{s}\)) osiąga położenie: \[ \displaystyle x(20) = -100 + 10 \cdot 20 = 100\,\text{m} \]
Etap II (\(\displaystyle 20 \le t \le 30\,\text{s}\)): Rowerzysta stoi w miejscu na pozycji \(\displaystyle x = 100\,\text{m}\): \[ \displaystyle x = 100 \]
Etap III (\(\displaystyle t > 30\,\text{s}\)): Rowerzysta ponownie rusza z pozycji \(\displaystyle 100\,\text{m}\). Czas, który upływa od momentu ponownego ruszenia to \(\displaystyle (t - 30)\): \[ \displaystyle x = 100 + 10(t - 30) \] \[ \displaystyle x = 100 + 10t - 300 \] \[ \displaystyle x = 10t - 200 \]

Analiza przedziałów i rozwiązanie układu równań

Aby obliczyć czas spotkania, musimy sprawdzić, w którym przedziale czasowym dojdzie do przecięcia torów ruchu.

Próba 1: Czy spotkają się przed odpoczynkiem rowerzysty (\(\displaystyle 10 \le t \lt 20\,\text{s}\))?
Przyrównujemy równania z pierwszego etapu: \[ \displaystyle -100 + 10t = 550 - 5t \implies 15t = 650 \implies t \approx 43,3\,\text{s} \] Otrzymany czas leży poza badanym przedziałem (\(\displaystyle 43,3 > 20\)), więc w tym okresie nie dojdzie do spotkania.

Próba 2: Czy spotkają się podczas odpoczynku rowerzysty (\(\displaystyle 20 \le t \le 30\,\text{s}\))?
Rowerzysta stoi wtedy na \(\displaystyle x = 100\,\text{m}\). Biegacz musiałby tam dobiec: \[ \displaystyle 100 = 550 - 5t \implies 5t = 450 \implies t = 90\,\text{s} \] Czas \(\displaystyle 90\,\text{s}\) również leży poza tym przedziałem. Brak spotkania.

Próba 3: Czy spotkają się po odpoczynku rowerzysty (\(\displaystyle t > 30\,\text{s}\))?
Zapisujemy układ równań dla trzeciego etapu ruchu rowerzysty i ruchu biegacza:

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = 10t - 200 & \text{(Etap III - rowerzysta)} \\ x = 550 - 5t & \text{(biegacz)} \end{array} \right. \]

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania:

\[ \displaystyle 10t - 200 = 550 - 5t \]

Dodajemy \(\displaystyle 5t\) oraz \(\displaystyle 200\) do obu stron równania:

\[ \displaystyle 10t + 5t = 550 + 200 \] \[ \displaystyle 15t = 750 \]

Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle 15\):

\[ \displaystyle t = \frac{750}{15} = 50\,\text{s} \]

Ponieważ \(\displaystyle 50\,\text{s} > 30\,\text{s}\), rozwiązanie jest poprawne fizycznie!

Miejsce spotkania:
Podstawiamy obliczony czas \(\displaystyle t = 50\,\text{s}\) do równania biegacza:

\[ \displaystyle x = 550 - 5 \cdot 50 = 550 - 250 = 300\,\text{m} \]

Sprawdzamy z równaniem rowerzysty:

\[ \displaystyle x = 10 \cdot 50 - 200 = 500 - 200 = 300\,\text{m} \]

Wykres ruchu ciał

Poniższy wykres pokazuje położenie obu ciał w czasie. Linia niebieska (rowerzysta) wyraźnie pokazuje płaski etap poziomy w przedziale \(\displaystyle 20 - 30\,\text{s}\) oznaczający postój.

wykresy równań ruchu motocyklisty i rowerzysty

Odpowiedź

a) Równania ruchu rowerzysty to: \(\displaystyle x_1(t) = -100 + 10t\) (dla \(\displaystyle t \in [0, 20)\)), \(\displaystyle x_1(t) = 100\) (dla \(\displaystyle t \in [20, 30]\)) oraz \(\displaystyle x_1(t) = 10t - 200\) (dla \(\displaystyle t > 30\,\text{s}\)). Równanie biegacza to \(\displaystyle x_2(t) = 550 - 5t\) (dla \(\displaystyle t \ge 10\,\text{s}\)).
b) Ciała spotkają się po czasie \(\displaystyle t = 50\,\text{s}\) od momentu startu rowerzysty.
c) Współrzędna położenia punktu spotkania wynosi \(\displaystyle x = 300\,\text{m}\) (czyli \(\displaystyle 300\,\text{m}\) przed skrzyżowaniem).