RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY - ZADANIA

Zadanie 3

Rowerzysta startuje z punktu \(\displaystyle A\) i porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością \(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) w stronę punktu \(\displaystyle B\), który jest oddalony o \(\displaystyle d = 900\, \text{m}\). Dokładnie \(\displaystyle t_0 = 20\, \text{s}\) po starcie rowerzysty, z punktu \(\displaystyle B\) w stronę punktu \(\displaystyle A\) wyrusza biegacz z prędkością \(\displaystyle v_2 = 3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\).

W tym samym momencie (gdy startuje biegacz), z punktu \(\displaystyle B\) wybiega pies i biegnie w stronę rowerzysty ze stałą prędkością \(\displaystyle v_3 = 10\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Gdy pies dobiega do rowerzysty, natychmiast zawraca i biegnie w stronę biegacza. Gdy dobiega do biegacza, znów zawraca i tak bez przerwy, aż do momentu spotkania obu ludzi. Przyjmując punkt \(\displaystyle A\) jako początek układu odniesienia:

a) Napisz równania ruchu rowerzysty i biegacza.
b) Oblicz czas spotkania ludzi oraz odległość punktu spotkania od punktu \(\displaystyle A\).
c) Oblicz całkowitą drogę, jaką pokona pies do chwili spotkania ludzi.

Dane i stałe

\(\displaystyle v_1 = 5\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość rowerzysty
\(\displaystyle v_2 = 3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość biegacza
\(\displaystyle v_3 = 10\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\) - prędkość psa
\(\displaystyle d = 900\, \text{m}\) - odległość między punktami startu \(\displaystyle A\) i \(\displaystyle B\)
\(\displaystyle t_0 = 20\, \text{s}\) - opóźnienie startu biegacza i psa względem rowerzysty
\(\displaystyle x_{01} = 0\, \text{m}\) - położenie początkowe rowerzysty (punkt \(\displaystyle A\))
\(\displaystyle x_{02} = d = 900\, \text{m}\) - położenie początkowe biegacza i psa (punkt \(\displaystyle B\))

Szukane

\(\displaystyle x_1(t), x_2(t)\) - równania ruchu ludzi
\(\displaystyle t\) - czas od startu rowerzysty do momentu spotkania
\(\displaystyle x\) - położenie miejsca spotkania (odległość od punktu \(\displaystyle A\))
\(\displaystyle s_p\) - całkowita droga pokonana przez psa

Równania ruchu rowerzysty i biegacza

Wybieramy układ odniesienia, w którym początek osi współrzędnych (\(\displaystyle x = 0\)) znajduje się w punkcie startu rowerzysty (\(\displaystyle A\)). Oś \(\displaystyle x\) jest skierowana w stronę punktu \(\displaystyle B\).

1. Rowerzysta:
Startuje w chwili \(\displaystyle t = 0\) z punktu \(\displaystyle x = 0\) i jedzie zgodnie ze zwrotem osi:

\[ \displaystyle x = 5t \]

2. Biegacz:
Startuje z punktu \(\displaystyle x = 900\,\text{m}\) o \(\displaystyle 20\,\text{s}\) później. Ponieważ porusza się przeciwnie do zwrotu osi \(\displaystyle x\) (wraca w stronę punktu \(\displaystyle A\)), jego prędkość ma znak minus:

\[ \displaystyle x = 900 - 3(t - 20) \] \[ \displaystyle x = 960 - 3t \quad (\text{dla } t \ge 20\,\text{s}) \]

Spotkanie ludzi i rozwiązanie układu równań

Aby znaleźć czas i miejsce spotkania rowerzysty i biegacza, łączymy ich równania położenia w układ równań i rozwiązujemy go metodą podstawiania:

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = 5t \\ x = 960 - 3t \end{array} \right. \]

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego:

\[ \displaystyle 5t = 960 - 3t \] \[ \displaystyle 5t + 3t = 960 \] \[ \displaystyle 8t = 960 \implies t = \frac{960}{8} = 120\,\text{s} \]

Podstawiamy czas \(\displaystyle t = 120\,\text{s}\) do równania ruchu rowerzysty, aby znaleźć miejsce spotkania:

\[ \displaystyle x = 5 \cdot 120 = 600\,\text{m} \]

Analiza ruchu psa - Klucz logiczny

Pozorny problem:
Próba obliczenia drogi psa poprzez sumowanie poszczególnych etapów jego biegu (najpierw do rowerzysty, potem z powrotem do biegacza itd.) prowadziłaby do sumowania nieskończonego szeregu geometrycznego. Może to być matematycznie bardzo skomplikowane.

Proste rozwiązanie:
Zwróćmy uwagę, że pies biegnie ze stałą prędkością \(\displaystyle v_3 = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) przez cały czas, od momentu swojego startu (\(\displaystyle t_0 = 20\,\text{s}\)) do momentu, w którym rowerzysta i biegacz się spotkają (\(\displaystyle t = 120\,\text{s}\)).

Czas ruchu psa (\(\displaystyle t_p\)) wynosi zatem dokładnie:

\[ \displaystyle t_p = t - t_0 = 120\,\text{s} - 20\,\text{s} = 100\,\text{s} \]

Skoro pies poruszał się bez przerwy ze stałą prędkością przez \(\displaystyle 100\,\text{sekund}\), jego całkowita droga wynosi po prostu:

\[ \displaystyle s_p = v_3 \cdot t_p \] \[ \displaystyle s_p = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 100\,\text{s} = 1000\,\text{m} \]

Wykres ruchu ciał

Poniższy wykres przedstawia zależność położenia (\(\displaystyle x\)) od czasu (\(\displaystyle t\)) dla wszystkich trzech ciał. Zwróć uwagę na niesamowity, zygzakowaty tor ruchu psa (kolor zielony), który odbija się od linii ludzi, aż wszyscy spotykają się w jednym punkcie.

wykresy równań ruchu motocyklisty i rowerzysty

Odpowiedź

a) Równania ruchu ludzi to: \(\displaystyle x_1(t) = 5t\) oraz \(\displaystyle x_2(t) = 960 - 3t\) (dla \(\displaystyle t \ge 20\,\text{s}\)).
b) Ludzie spotkają się po czasie \(\displaystyle t = 120\,\text{s}\) od startu rowerzysty, w odległości \(\displaystyle x = 600\,\text{m}\) od punktu \(\displaystyle A\).
c) Pies pokonał drogę równą dokładnie \(\displaystyle s_p = 1000\,\text{m}\) (czyli \(\displaystyle 1\,\text{km}\)).