POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM - ZADANIA
Zadanie 6
Udowodnij wzór na podnoszenie ułamku do potęgi ujemne : \(\large \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\)
\(\displaystyle \left(\frac ab\right)^{-n}=\frac1{\left(\frac ab\right)^n}\)
Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym \( a^{-1}=\frac1{a^n}\)
\(\displaystyle \frac1{\left(\frac ab\right)^n}=\frac1{\frac{a^n}{b^n}}\)
Korzystamy z twierdzenia \( \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)
\(\displaystyle \frac1{\frac{a^n}{b^n}}=1:\frac{a^n}{b^n}=1\cdot\frac{b^n}{a^n}=\frac{b^n}{a^n}\)
Wykonujemy dzielenie
\(\displaystyle \frac{b^n}{a^n}=\left(\frac ba\right)^n\)
Powtórnie korzystamy z twierdzenia \( \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)
\(\displaystyle \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\)
Otrzymaliśmy nasz wzór, co kończy dowód.
