POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM
Definicja (Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym)
Jeżeli \(\boldsymbol a\) jest dowolną liczbą, różną od zera, a \(\boldsymbol n\) jest liczbą naturalną , to
\[\LARGE \displaystyle a^{-n}=\frac1{a^n}\]
liczby naturalne są to liczby : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Przykłady:
\(\displaystyle 3^{-2}=\frac1{3^2}=\frac1{3\cdot3}=\frac19\)
\(\displaystyle 2^{-4}=\frac1{2^4}=\frac1{2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac1{16}\)
Twierdzenie (Ułamek do potęgi ujemnej)
Jeżeli \(\boldsymbol a\) i \(\boldsymbol b\) są dowolnymi liczbami różnymi od zera,
a \(\boldsymbol n\) jest liczbą naturalną , to
\[\large \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}\]
Przykłady:
\(\displaystyle \left(\frac54\right)^{-2}=\left(\frac45\right)^2=\frac45\cdot\frac45=\frac{16}{25}\)
\(\displaystyle \left(\frac15\right)^{-3}=\left(\frac51\right)^3=5^3=125\)
POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM - ZADANIA
Zadanie 1
Podane liczby podnieść do potęgi minus jeden : 1 , 2 , 6 , 25 , 10 , 100
Rozwiązanie
Zadanie 2
Podnieść liczby do ujemnej potęgi : \( 6^{-2}\;,\;10^{-2}\;,\;5^{-3}\;,\;4^{-4}\;,\;1^{-5}\;,\;2^{-6}\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Oblicz potęgi : \(\left(-2\right)^{-1}\;,\;-2^{-1}\;,\;\left(-3\right)^{-2}\;,\;-3^{-2}\) ,
\(\left(-5\right)^{-3}\;,\;\left(-2\right)^{-4}\;,\;\left(-10\right)^{-2}\)
Rozwiązanie
Zadanie 4
Oblicz ułamki podniesione do potęgi ujemnej: \(\left(\frac25\right)^{-1}\;,\;\left(\frac47\right)^{-2}\;,\;\left(\frac13\right)^{-3}\;,\;
\left(0,1\right)^{-1}\;,\;\left(0,2\right)^{-2}\) korzystając ze wzoru: \(\large a^{-n}=\frac1{a^n}\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Oblicz ułamki podniesione do potęgi ujemnej: \(\left(\frac37\right)^{-1}\;,\;\left(\frac54\right)^{-2}\;,\;\left(\frac15\right)^{-3}\;,\;
\left(0,1\right)^{-1}\;,\;\left(0,5\right)^{-2}\) korzystając ze wzoru:
\(\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\)
Rozwiązanie
Zadanie 6
Udowodnij wzór na podnoszenie ułamku do potęgi ujemne : \(\large \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\)
Rozwiązanie
