PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE - ZADANIA
Zadanie 1
Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie (\(U_1\)) znajdują się 3 kule białe i 7 czarnych, a w drugiej urnie (\(U_2\)) znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy kulę z pierwszej urny, jeśli wypadnie reszka – z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Analiza i oznaczenia (Metoda hipotez)
Zdarzenie polega na dwóch etapach: rzucie monetą (wybór urny) oraz losowaniu kuli. Definiujemy hipotezy i zdarzenie główne:\(H_1\) – wybór pierwszej urny (wypadł orzeł), \(P(H_1) = \frac{1}{2}\)
\(H_2\) – wybór drugiej urny (wypadła reszka), \(P(H_2) = \frac{1}{2}\)
\(A\) – wylosowano kulę białą.
Krok 1: Prawdopodobieństwa warunkowe
Obliczamy szansę na kulę białą pod warunkiem wyboru konkretnej urny:
- Szansa na białą w pierwszej urnie: \(P(A|H_1) = \frac{3}{10} = 0,3\)
- Szansa na białą w drugiej urnie: \(P(A|H_2) = \frac{6}{10} = 0,6\)
Krok 2: Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
Zgodnie z twierdzeniem: \(P(A) = P(A|H_1) \cdot P(H_1) + P(A|H_2) \cdot P(H_2)\)
\(P(A) = 0,3 \cdot 0,5 + 0,6 \cdot 0,5\)
\(P(A) = 0,15 + 0,30 = \mathbf{0,45}\)
Komentarz (Metoda drzewka)
To samo zadanie można rozwiązać rysując drzewko stochastyczne.
1. Pierwszy poziom (gałęzie) to rzut monetą (po \(\frac{1}{2}\)).
2. Drugi poziom to losowanie kuli z danej urny.
Wynik \(0,45\) otrzymujemy sumując iloczyny prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi prowadzących do kuli białej.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite jest po prostu formalnym opisem tej metody.
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 0,45 (czyli 45%).