PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE

Definicja (Prawdopodobieństwo klasyczne)

Jeżeli \(\Omega\) jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych \(\omega\) jednakowo prawdopodobnych oraz \(A\subset\Omega\) to liczbę określoną wzorem : \[P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}\] nazywamy prawdopodokieństwem zdarzenia \(A\).

\(\left|A\right|\) - moc zbioru \(A\) (liczba elementów zbioru \(A\)),
(liczba zdarzeń elementarnych sprzyjajch zdarzeniu A)

\(\left|\Omega\right|\) - moc zbioru \(\Omega\) (liczba elementów zbioru \(\Omega\)),
(liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych)

\(P(A)\) - w nawiasie zapisujemy symbol zdarzeni, którego prawdopodobieństwo obliczamy.

\(A\subset\Omega\) - czytamy: \(A\) zawiera się w \(\Omega\)

Przykład:

Rzucamy jeden raz kostką sześcienną

Możliwe wyniki to : 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mamy sześć zdarzeń elementarnych : \(\omega_1=1,\;\omega_2=2,\;\omega_3=3,\;\omega_4=4,\;\omega_5=5,\;\omega_6=6\;\)

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych : \(\Omega=\left\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\right\}\)

Moc zbioru \(\left|\Omega\right|=6\)

Zdarzenie A

\(A\) - wypadła parzysta liczba oczek czyli : \(A=\left\{2,\;4,\;6\right\}\)

Moc zbioru \(\left|A\right|=3\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\)

\[P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12\]

Zdarzenie B

\(B\) - wypadła liczba oczek większa od 2 czyli : \(B=\left\{3,\;4,\;5,\;6\right\}\)

Moc zbioru \(\left|B\right|=4\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\)

\[P(B)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac46=\frac23\]

Zdarzenie C

\(C\) - wypadła trójka czyli : \(C=\left\{3\right\}\)

Moc zbioru \(\left|C\right|=1\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(C\)

\[P(C)=\frac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac16\]

PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE - ZADANIA

Zadanie 1

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \), polegającego na tym, że wypadną dokładnie dwa orły.

Rozwiązanie

Zadanie 2

Rzucamy czterema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \), polegającego na tym, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.

Rozwiązanie

Zadanie 3

Rzucamy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \), polegającego na tym, że suma wyrzuconych oczek jest równa 9.

Rozwiązanie

Zadanie 4

Rzucamy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \), polegającego na tym, że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą.

Rozwiązanie

Zadanie 5 (Wersja I)

W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 kule zielone. Losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:

A - wylosowane kule są różnych kolorów,
B - obie kule są białe,
C - obie kule są zielone,
D - obie kule są tego samego koloru.

Rozwiązanie

Zadanie 6 (Wersja II)

W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 kule zielone. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

A - wylosowano dwie kule białe,
B - wylosowano dwie kule zielone,
C - najpierw białą, potem zieloną,
D - najpierw zieloną, potem białą,
E - jedną białą i jedną zieloną (dowolna kolejność).

Rozwiązanie

Zadanie 7 (Wersja III)

W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 kule zielone. Losujemy kolejno dwie kule, przy czym po pierwszym losowaniu wracamy kulę do urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

A - obie kule są białe,
B - obie kule są zielone,
C - najpierw biała, potem zielona,
D - najpierw zielona, potem biała,
E - jedna biała i jedna zielona (dowolna kolejność).

Rozwiązanie

Zadanie 8

W urnie znajdują się kule czarne i białe, łącznie 10 kul. Wiemy, że kul czarnych jest więcej niż białych. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych wynosi \( \frac{1}{15} \). Ile kul białych znajduje się w urnie? (Czy prawdopodobieństwo się zmieni, gdy dwie kule wyciągniemy "na raz"?)

Rozwiązanie

Zadanie 9

W pudełku znajduje się 20 losów, w tym \(n\) wygrywających. Losujemy jednocześnie dwa losy. Oblicz, dla jakiego \(n\) prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednego losu wygrywającego jest największe.

Rozwiązanie