PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE - ZADANIA
Zadanie 9
W pudełku znajduje się 20 losów, w tym \(n\) wygrywających. Losujemy jednocześnie dwa losy. Oblicz, dla jakiego \(n\) prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednego losu wygrywającego jest największe.
Analiza i oznaczenia
Używamy kombinacji, ponieważ losujemy dwa losy bez uwzględniania ich kolejności.
Liczba wszystkich losów: 20
Liczba losów wygrywających: \(n\)
Liczba losów przegrywających: \(20 - n\)
Warunek: \(n \in \{1, 2, \dots, 19\}\)
Liczba wszystkich losów: 20
Liczba losów wygrywających: \(n\)
Liczba losów przegrywających: \(20 - n\)
Warunek: \(n \in \{1, 2, \dots, 19\}\)
Krok 1: Moc zbioru \(\Omega\) i zdarzenia \(A\)
Wybieramy 2 losy z 20:
\(|\Omega| = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190\)
Zdarzenie \(A\) (1 wygrywający i 1 przegrywający):
\(|A| = \binom{n}{1} \cdot \binom{20-n}{1} = n \cdot (20-n)\)
Wybieramy 2 losy z 20:
\(|\Omega| = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190\)
Zdarzenie \(A\) (1 wygrywający i 1 przegrywający):
\(|A| = \binom{n}{1} \cdot \binom{20-n}{1} = n \cdot (20-n)\)
Krok 2: Funkcja prawdopodobieństwa
Budujemy funkcję \(P(n)\):
\(P(n) = \frac{n(20-n)}{190} = \frac{-n^2 + 20n}{190}\)
Jest to funkcja kwadratowa. Jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół.
Największą wartość przyjmuje w wierzchołku:
\(n_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot (-1)} = 10\)
Budujemy funkcję \(P(n)\):
\(P(n) = \frac{n(20-n)}{190} = \frac{-n^2 + 20n}{190}\)
Jest to funkcja kwadratowa. Jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół.
Największą wartość przyjmuje w wierzchołku:
\(n_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot (-1)} = 10\)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo jest największe, gdy w pudełku znajduje się 10 losów wygrywających.