PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE - ZADANIA

Zadanie 8

W urnie znajdują się kule czarne i białe, łącznie 10 kul. Wiemy, że kul czarnych jest więcej niż białych. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych wynosi \( \frac{1}{15} \). Ile kul białych znajduje się w urnie? (Czy prawdopodobieństwo się zmieni, gdy dwie kule wyciągniemy "na raz"?)

Analiza wstępna

Niech \( n \) oznacza liczbę kul białych. Wtedy liczba kul czarnych to \( 10 - n \).
Z treści zadania wiemy, że \( n \lt 10 - n \), czyli \( 2n \lt 10 \), co daje nam \( n \lt 5 \).

1. Moc zbioru \( \Omega \):
Losujemy 2 kule z 10 bez zwracania (kolejność ma znaczenie):
\( |\Omega| = 10 \cdot 9 = 90 \)

2. Moc zbioru \( A \) (dwie białe):
Pierwszą białą wybieramy na \( n \) sposobów, drugą na \( n-1 \) sposobów:
\( |A| = n(n-1) \)

3. Równanie:
Z treści zadania wiemy, że:
\(\displaystyle \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{1}{15}=\frac{n(n-1)}{90} \)
Rozwiązujemy równaie
\(\displaystyle \frac{n^2 - n}{90} = \frac{1}{15} \)
Mnożymy obie strony przez 90:
\( n^2 - n = 6 \)
\( n^2 - n - 6 = 0 \)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe (delta):
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
\( \sqrt{\Delta} = 5 \)
\( n_1 = \frac{1-5}{2} = -2 \) (odrzucamy, liczba kul musi być dodatnia)
\( n_2 = \frac{1+5}{2} = 3 \)

Odpowiedź

W urnie znajdują się 3 kule białe (oraz 7 czarnych, co zgadza się z warunkiem zadania).

CZY "NA RAZ" ZMIENIA WYNIK?

W urnie mamy \( n \) kul białych i \( 10 \) kul łącznie. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul białych.

Model A: Losowanie kolejno (bez zwracania)

Kolejność ma znaczenie. Używamy wariacji bez powtórzeń (lub reguły mnożenia).
\( |\Omega| = 10 \cdot 9 = 90 \)
\( |A| = n \cdot (n-1) \)
\( P(A) = \frac{n(n-1)}{90} \)

Model B: Losowanie "na raz" (jednocześnie)

Kolejność NIE ma znaczenia. Używamy kombinacji (symbolu Newtona).
\( |\Omega| = C_2^{10} = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)
\( |A| = C_2^n = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \)
\( \binom{n}{2} = \frac{{\color{red}{(n-2)!}} \cdot (n-1) \cdot n}{2 \cdot {\color{red}{(n-2)!}}} = \frac{(n-1) \cdot n}{2}\)
\( P(A) = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{45} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{45} = \frac{n(n-1)}{90} \)

Wniosek

Zauważ, że w obu modelach ostateczny wzór na prawdopodobieństwo jest identyczny: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{90} \).