PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA
Zadanie 7
Ze zbioru liczb \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest mniejsza lub równa 15 (zdarzenie \( A \)), jeśli wiadomo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od 5 (zdarzenie \( B \)).
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} \)
\( \Omega \) - Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
Losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby z dziewięciu:
\( |\Omega| = 9 \cdot 8 = 72 \)
Losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby z dziewięciu:
\( |\Omega| = 9 \cdot 8 = 72 \)
Wprowadźmy oznaczenia:
\( A \) – suma liczb \( \le 15 \)
\( B \) – pierwsza liczba \( \in \{6, 7, 8, 9\} \)
\( A \) – suma liczb \( \le 15 \)
\( B \) – pierwsza liczba \( \in \{6, 7, 8, 9\} \)
Zdarzenie (warunek) B
Pierwsza liczba to 6, 7, 8 lub 9 (4 możliwości), druga to dowolna z pozostałych ośmiu:
\( |B| = 4 \cdot 8 = 32 \)
Pierwsza liczba to 6, 7, 8 lub 9 (4 możliwości), druga to dowolna z pozostałych ośmiu:
\( |B| = 4 \cdot 8 = 32 \)
Wyznaczenie części wspólnej \( A \cap B \) metodą zdarzenia przeciwnego
Zamiast szukać par o sumie \( \le 15 \), łatwiej znaleźć w zbiorze \( B \) pary, których suma jest większa od 15 (zdarzenie przeciwne \( A' \)):
\( (A \cap B)' = \{ (x,y) \in B : x + y > 15 \} \)
Szukamy takich par wewnątrz warunku \( B \):
Dla \( x=7 \): \( (7,9) \) (suma 16) [1 para]
Dla \( x=8 \): \( (8,9) \) (suma 17) [1 para]
Dla \( x=9 \): \( (9,7), (9,8) \) (sumy 16, 17) [2 pary]
\( |A' \cap B| = 1 + 1 + 2 = 4 \)
Zamiast szukać par o sumie \( \le 15 \), łatwiej znaleźć w zbiorze \( B \) pary, których suma jest większa od 15 (zdarzenie przeciwne \( A' \)):
\( (A \cap B)' = \{ (x,y) \in B : x + y > 15 \} \)
Szukamy takich par wewnątrz warunku \( B \):
Dla \( x=7 \): \( (7,9) \) (suma 16) [1 para]
Dla \( x=8 \): \( (8,9) \) (suma 17) [1 para]
Dla \( x=9 \): \( (9,7), (9,8) \) (sumy 16, 17) [2 pary]
\( |A' \cap B| = 1 + 1 + 2 = 4 \)
Obliczamy moc właściwej części wspólnej:
\( |A \cap B| = |B| - |A' \cap B| = 32 - 4 = 28 \)
\( |A \cap B| = |B| - |A' \cap B| = 32 - 4 = 28 \)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\( P(A|B) = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \)
\( P(A|B) = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} \)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi \( \frac{7}{8} \).